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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

2026 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

2025 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，上顶点为 BB，离心率为 255\dfrac{2\sqrt5}{5}，且 ∣BF∣=5|BF|=\sqrt5.
(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一的公共点 MM，与 yy 轴的正半轴交于点 NN，过 NN 与 BFBF 垂直的直线交 xx 轴于点 PP. 若 MP∥BFMP\parallel BF，求直线 ll 的方程.

2021 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−3)A(0,-3)，右焦点为 FF，且 ∣OA∣=∣OF∣|OA|=|OF|，其中 OO 为原点.
(1) 求椭圆方程； (2) 已知点 CC 满足 3OC→=OF→3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点 BB 在椭圆上（BB 异于椭圆的顶点），直线 ABAB 与以 CC 为圆心的圆相切于点 PP，且 PP 为线段 ABAB 的中点. 求直线 ABAB 的方程.

2020 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的短轴长为 44，离心率为 55\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 PP 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线 PBPB 与 xx 轴的交点，点 NN 在 yy 轴的负半轴上. 若 ∣ON∣=∣OF∣|ON|=|OF|（OO 为原点），且 OP⊥MNOP\perp MN，求直线 PBPB 的斜率.

2019 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，左顶点为 AA，上顶点为 BB. 已知 3∣OA∣=2∣OB∣\sqrt3|OA|=2|OB|（OO 为原点）.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设经过点 FF 且斜率为 34\dfrac34 的直线 ll 与椭圆在 xx 轴上方的交点为 PP，圆 CC 同时与 xx 轴和直线 ll 相切，圆心 CC 在直线 x=4x=4 上，且 OC//APOC//AP，求椭圆的方程.

2019 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 （a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 AA 的坐标为 (b,0)(b,0)，且 FB⋅AB=62FB\cdot AB=6\sqrt2.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx （k>0k>0） 与椭圆在第一象限的交点为 PP，且 ll 与直线 ABAB 交于点 QQ.
若 AQPQ=524sin⁡∠AOQ\dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{5\sqrt2}{4}\sin\angle AOQ（OO 为原点），求 kk 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 AA，上顶点为 BB.已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，∣AB∣=13|AB|=\sqrt{13}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx（k<0k<0）与椭圆交于 PP，QQ 两点，ll 与直线 ABAB 交于点 MM，且点 PP，MM 均在第四象限.若 △BPM\triangle BPM 的面积是 △BPQ\triangle BPQ 面积的 22 倍，求 kk 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，离心率为 12\dfrac{1}{2}. 已知 AA 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，FF 到抛物线的准线 ll 的距离为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； (2) 设 ll 上两点 PP，QQ 关于 xx 轴对称，直线 APAP 与椭圆相交于点 BB（BB 异于点 AA），直线 BQBQ 与 xx 轴相交于点 DD. 若 △APD\triangle APD 的面积为 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}，求直线 APAP 的方程.

2017 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c,0)，右顶点为 AA，点 EE 的坐标为 (0,c)(0,c)，△EFA\triangle EFA 的面积为 b22\dfrac{b^2}{2}.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设点 QQ 在线段 AEAE 上，∣FQ∣=32c|FQ|=\dfrac32c，延长线段 FQFQ 与椭圆交于点 PP，点 MM，NN 在 xx 轴上，PM∥QNPM\parallel QN，且直线 PMPM 与直线 QNQN 间的距离为 cc，四边形 PQNMPQNM 的面积为 3c3c.
(i) 求直线 FPFP 的斜率； (ii) 求椭圆的方程.

2017 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于点 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH. 若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA≤∠MAO\angle MOA\le\angle MAO，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{|OF|}+\dfrac1{|OA|}=\dfrac{3e}{|FA|}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH，若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA=∠MAO\angle MOA=\angle MAO，求直线 ll 的斜率.

2016 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c, 0)，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，点 MM 在椭圆上且位于第一象限，直线 FMFM 被圆 x2+y2=b24x^2 + y^2 = \frac{b^2}{4} 截得的线段的长为 cc，∣FM∣=433|FM| = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求直线 FMFM 的斜率； (2) 求椭圆的方程； (3) 设动点 PP 在椭圆上，若直线 FPFP 的斜率大于 2\sqrt{2}，求直线 OPOP（OO 为原点）的斜率的取值范围.

2015 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的上顶点为 BB，左焦点为 FF，离心率为 55\frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求直线 BFBF 的斜率； (2) 设直线 BFBF 与椭圆交于点 PP（PP 异于点 BB），过点 BB 且垂直于 BPBP 的直线与椭圆交于点 QQ（QQ 异于点 BB），直线 PQPQ 与 yy 轴交于点 MM，∣PM∣=λ∣MQ∣|PM| = \lambda |MQ|.
(i) 求 λ\lambda 的值； (ii) 若 ∣PM∣sin⁡∠BQP=759|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}，求椭圆的方程.

2015 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，右顶点为 AA，上顶点为 BB，已知 ∣AB∣=32∣F1F2∣|AB|=\frac{\sqrt3}{2}|F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 PP 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PBPB 为直径的圆经过点 F1F_1，经过原点 OO 的直线 ll 与该圆相切. 求直线 ll 的斜率.

2014 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，右顶点为 AA，上顶点为 BB，已知 ∣AB∣=32∣F1F2∣|AB| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 PP 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PBPB 为直径的圆经过点 F1F_{1}，经过点 F2F_{2} 的直线 ll 与该圆相切于点 MM，∣MF2∣=22|MF_{2}| = 2\sqrt{2}. 求椭圆的方程.

2014 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右顶点分别为 AA，BB，点 PP 在椭圆上且异于 AA，BB 两点，点 OO 为坐标原点.
(1) 若直线 APAP 与 BPBP 的斜率之积为 −12-\frac{1}{2}，求椭圆的离心率； (2) 若 ∣AP∣=∣OA∣\left|AP\right|=\left|OA\right|，证明直线 OPOP 的斜率 kk 满足 ∣k∣>3\left|k\right|>\sqrt{3}.

2012 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 P(55a,22a)P\left(\frac{\sqrt{5}}{5}a, \frac{\sqrt{2}}{2}a\right) 在椭圆上.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 AA 为椭圆的左顶点，OO 为坐标原点. 若点 QQ 在椭圆上且满足 ∣AQ∣=∣AO∣|AQ| = |AO|，求直线 OQOQ 的斜率的值.

2012 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 P(a,b)P(a,b)（a>b>0a>b>0）为动点，F1F_{1}，F2F_{2} 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的左、右焦点. 已知 △F1PF2\triangle F_1PF_2 为等腰三角形.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 设直线 PF2PF_{2} 与椭圆相交于 AA，BB 两点，MM 是直线 PF2PF_{2} 上的点，满足 AM→⋅BM→=−2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=-2，求点 MM 的轨迹方程.
\begin{solution} 设椭圆焦距的一半为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2，e=cae=\frac ca，F1=(−c,0)F_1=(-c,0)，F2=(c,0)F_2=(c,0). 由于 P=(a,b)P=(a,b)，且 b2=a2−c2b^2=a^2-c^2，有
PF12=(a+c)2+b2=2a(a+c)PF_1^2=(a+c)^2+b^2=2a(a+c)
PF22=(a−c)2+b2=2a(a−c)PF_2^2=(a-c)^2+b^2=2a(a-c)
从而 PF1>PF2PF_1>PF_2. 又 F1F2=2cF_1F_2=2c.
\begin{enumerate} \item 三角形等腰时，若 PF1=F1F2PF_1=F_1F_2，则
2a(a+c)=4c2⟺2e2−e−1=02a(a+c)=4c^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2e^2-e-1=0
其根为 e=1e=1 或 e=−12e=-\frac{1}{2}，均不满足 0<e<10<e<1. 因而只能有 PF2=F1F2PF_2=F_1F_2，即
2a(a−c)=4c2⟺2e2+e−1=02a(a-c)=4c^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2e^2+e-1=0
由 0<e<10<e<1，得 e=12e=\frac{1}{2}. 所以 a=2ca=2c，b=3cb=\sqrt3c.
\item 此时椭圆方程为
x24c2+y23c2=1\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1
且直线 PF2PF_2 经过 F2=(c,0)F_2=(c,0) 和 P=(2c,3c)P=(2c,\sqrt3c)，故
PF2: y=3(x−c)PF_2:\ y=\sqrt3(x-c)
将直线上的点参数化为
X(t)=(c+t,3t)X(t)=(c+t,\sqrt3t)
代入椭圆方程，交点参数 t1t_1，t2t_2 满足
5t2+2ct−3c2=05t^2+2ct-3c^2=0
因此 t1+t2=−2c5t_1+t_2=-\frac{2c}{5}，t1t2=−3c25t_1t_2=-\frac{3c^2}{5}. 设 M=X(m)M=X(m). 直线方向向量为 (1,3)(1,\sqrt3)，其模的平方为 44，所以
AM→⋅BM→=4(m−t1)(m−t2)=−2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} =4(m-t_1)(m-t_2)=-2
整理得
20m2+8cm−12c2+10=020m^2+8cm-12c^2+10=0
又 m=y3m=\frac{y}{\sqrt3}，且 c=x−y3c=x-\frac{y}{\sqrt3}. 代入并化简，得到
18x2−163xy−15=018x^2-16\sqrt3xy-15=0
还需确定范围. 将上式与 c=x−y3c=x-\frac{y}{\sqrt3} 联立，可得
c=5(2x2+1)16xc=\frac{5(2x^2+1)}{16x}
由于 c>0c>0，必有 x>0x>0. 所以点 MM 的轨迹方程为 18x2−163xy−15=018x^2-16\sqrt3xy-15=0，x>0x>0. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 P(a,b)P(a, b) 满足 ∣PF2∣=∣F1F2∣|PF_2| = |F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 设直线 PF2PF_{2} 与椭圆相交于 AA，BB 两点，若直线 PF2PF_{2} 与圆 (x+1)2+(y−3)2=16(x + 1)^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 16 相交于 MM，NN 两点，且 ∣MN∣=58∣AB∣|MN| = \frac{5}{8} |AB|，求椭圆的方程.

2011 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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