已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$, 以 $F_2$ 为焦点的抛物线 $y^2 = 2px$ ($p > 0$) 与双曲线在第一象限的交点为 $P$。若 $|PF_1| + |PF_2| = 3|F_1F_2|$, 则双曲线的离心率为 （ ）

若直线 $x - y + 6 = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$, 与 $y$ 轴交于点 $B$, 与圆 $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ ($r > 0$) 交于 $C, D$ 两点, 且 $|AB| = 3|CD|$, 则 $r =$______。

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, 点 $P$ 在直线 $x = a$ 上, 直线 $FP$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$, $\triangle PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$。

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若过 $P$ 的直线与椭圆有唯一公共点 $B$ ($B$ 异于 $A$), 求证: $FP$ 平分 $\angle AFB$。