已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左焦点为 $F$， $A$ 是右顶点，$P$ 是双曲线上一点，满足 $|FA| = |FP|$，$\angle FAP = 30^\circ$，则双曲线离心率为（ ）

在平面内，$O$ 为坐标原点，抛物线 $y^2 = 2x$ 上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个点，其纵坐标分别为 $y_A, y_B, y_C, y_D$，直线 $AB$ 与直线 $CD$ 交 $x$ 轴于点 $P$，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $M$，直线 $BD$ 交 $x$ 轴于点 $N$，以下说法正确的有 ______。

①若 $P$ 与抛物线焦点重合，则 $y_A y_B = -2$；

②$y_A y_B = y_C y_D$；

③$|OM||ON| = 2|OP|^2$；

④$|y_A - y_C||OP| = |y_B - y_D||OM|$；

⑤$\frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle BPD}} = (\frac{|OM|}{|ON|})^2$

已知椭圆 $A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，椭圆被直线 $x = b$ 截得的线段长为 $\sqrt{3}$。

(1) 求 $A$ 的标准方程；

(2) 斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与圆 $x^2 + y^2 = b^2$ 相切，且该直线交椭圆于 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，$A$ 是椭圆的上顶点。记直线 $AP, AQ$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\frac{k_1}{k_2}$。