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共找到 67 题
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045分解析几何★★☆☆☆
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）经过点 (1,0)\left( 1,0 \right) 和点 (72,3)\left( \frac{\sqrt{7}}{2},3 \right)，则 CC 的渐近线方程为（ ）
A.
y=±32xy=\pm 3\sqrt{2}x
B.
y=±23xy=\pm 2\sqrt{3}x
C.
y=±36xy=\pm \frac{\sqrt{3}}{6}x
D.
y=±26xy=\pm \frac{\sqrt{2}}{6}x

2026 · 全国 · 二卷 · 第 4 题 · 选择题

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096分解析几何★★★☆☆
已知 ⊙O:x2+y2=1\odot O:x^2+y^2=1，⊙A:x2+y2−6x−8y+k=0\odot A:x^2+y^2-6x-8y+k=0，则（ ）
A.
点 AA 的坐标为 (−3,−4)\left( -3,-4 \right)
B.
当 k=9k=9 时，⊙A\odot A 与 xx 轴相切
C.
当 k=−11k=-11 时，⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相切
D.
当 ⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相交时，两个交点所在直线的方程为 6x+8y−k−2=06x+8y-k-2=0

2026 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1），过 EE 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线被 EE 截得的线段长为 2\sqrt{2}.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设 OO 为坐标原点，给定点 G(t,0)G\left( t,0 \right)（t≠0t\ne 0）. A(x0,y0)A\left( x_0,y_0 \right)（y0≠0y_0\ne 0）为 EE 上的点，过 AA 作 yy 轴的垂线，垂足为 BB，直线 OAOA 与直线 GBGB 的交点为 PP，当 AA 在 EE 上运动时，点 PP 的轨迹为 MM.
(i) 求 MM 的方程； (ii) 当 tt 为何值时，MM 有对称中心？当 MM 有对称中心时，将 MM 平移后得到曲线 M′M'，使得 OO 为 M′M' 的对称中心，说明 M′M' 是什么曲线.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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065分解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 AA 在 CC 上，过 AA 作 CC 的准线的垂线，垂足为 BB. 若直线 BFBF 的方程为 y=−2x+2y=-2x+2，则 ∣AF∣=|AF|=（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2025 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4)(0,4)，(0,−4)(0,-4)，点 P(−6,4)P(-6,4) 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
2\sqrt{2}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知 bb 是 aa，cc 的等差中项，直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2+y^2+4y-1=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣\left| AB \right| 的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left( 1,\dfrac{3}{2} \right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a,\begin{cases} x=t,\\ y=t+a, \end{cases}
（tt 为参数），若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa 的值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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06解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4)(0,4)，(0,−4)(0,-4)，点 (−6,4)(-6,4) 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
2\sqrt2

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
直线 2x−y−2=02x-y-2=0 与圆 x2+y2−6x−8y=0x^2+y^2-6x-8y=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
44
B.
55
C.
88
D.
1010

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a (t 为参数)\begin{cases} x=t,\\ y=t+a \end{cases}\ (t\text{ 为参数})
，若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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05概率与统计★★★☆☆
设 OO 为平面坐标系原点，在区域 1≤x+y≤41\le x+y\le4 内随机取一点 A. 则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
A.
12\frac12
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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11解析几何★★★★☆
设 AA，BB 为双曲线 x29−y21=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1}=1 上两点，下列点中可为 AB‾\overline{AB} 中点的是（ ）
A.
(1,1)(1,1)
B.
(−1,2)(-1,2)
C.
(1,3)(1,3)
D.
(−1,−4)(-1,-4)

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 多选题

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12解析几何★★★★★
已知圆 OO 的半径为 1，直线 PAPA 与 OO 相切于 AA，PB‾∩PC‾\overline{PB}\cap\overline{PC} 与 OO 相交于 BB，CC，DD 为 BCBC 中点，若 PO=2PO=2，则 PA⋅PDPA\cdot PD 的最大值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
1+21+\sqrt2
D.
2+22+\sqrt2

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 多选题

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13解析几何★★☆☆☆
已知点 A(1,5)A(1,5) 在抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 上，则 AA 到 CC 的准线距离为______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 y2a2+x2b2=1\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率是 53\frac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta（π4≤θ≤π2\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}），曲线 C2C_2 的参数方程为 x=2cos⁡αx=2\cos\alpha，y=2sin⁡αy=2\sin\alpha（α\alpha 为参数，π2<α<π\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi）.
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程； (2) 若直线 y=x+my=x+m 既与 C1C_1 没有公共点，也与 C2C_2 没有公共点，求 mm 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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07概率与统计★★☆☆☆
设 OO 为平面直角坐标系原点，在区域 {(x,y)∣1≤x2+y2≤4}\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4\} 内随机取一点，记该点为 AA，则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
18\frac18
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知 xx，yy 满足 x2+y2−4x−2y−4=0x^2+y^2-4x-2y-4=0，则 x−yx-y 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
1+3221+\frac{3\sqrt2}{2}
B.
44
C.
1+321+3\sqrt2
D.
77

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设 AA，BB 是双曲线 x2−y29=1x^2-\dfrac{y^2}{9}=1 上两点，下列四个点中，可以为线段 ABAB 中点的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
(1,1)(1,1)
B.
(−1,2)(-1,2)
C.
(1,3)(1,3)
D.
(−1,−4)(-1,-4)

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
已知点 A(1,5)A(1,\sqrt5) 在抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 上，则 AA 到 CC 的准线的距离为______.
\begin{answer} 94\frac94 \end{answer}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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