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125分解析几何★★☆☆☆
双曲线 5x2−6y2=15x^2-6y^2=1 的离心率为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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155分解析几何★★★☆☆
已知直线 x−my+1=0x-my+1=0 与圆 C:(x−1)2+y2=4C:(x-1)^2+y^2=4 交于 AA，BB 两点，写出满足“△ABC\triangle ABC 的面积为 85\frac85”的 mm 的一个值______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中的三点的一个圆的方程为______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中任意三点可得的一个圆的方程为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2m−y2=1C:\frac{x^2}{m}-y^2=1（m>0m>0）的一条渐近线为 3x+my=0\sqrt3 x+my=0，则 CC 的焦距为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
双曲线 x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的右焦点到直线 x+2y−8=0x+2y-8=0 的距离为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，AA 为 CC 的右顶点，BB 为 CC 上的点，且 BF⊥xBF\perp x 轴. 若 ABAB 的斜率为 33，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
直线 y=x+1y=x+1 与圆 x2+y2+2y−3=0x^2+y^2+2y-3=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=8sin⁡θ\rho = 8\sin \theta 上的点到直线 θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）距离的最大值是______.
\begin{solution} 由极坐标关系 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，圆的方程化为 ρ2=8ρsin⁡θ\rho^2=8\rho\sin\theta，即 x2+y2=8yx^2+y^2=8y，亦即
x2+(y−4)2=16x^2+(y-4)^2=16
所以圆心为 O1=(0,4)O_1=(0,4)，半径为 44. 由于 ρ∈R\rho\in\mathbf{R}，直线 θ=π3\theta=\frac\pi3 是过原点的整条直线，其方程为 y=3xy=\sqrt3x. 圆心到该直线的距离为
d=∣3⋅0−4∣3+1=2d=\frac{|\sqrt3\cdot0-4|}{\sqrt{3+1}}=2
圆上点到该直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径，故最大值为 2+4=62+4=6. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 E:x2+y2b2=1E: x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（0<b<10 < b < 1）的左，右焦点，过点 F1F_{1} 的直线交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，若 ∣AF1∣=3∣BF1∣|AF_{1}| = 3|BF_{1}|，AF2⊥xAF_{2} \perp x 轴，则椭圆 EE 的方程为______.
\begin{solution} 设椭圆焦半距为 cc，则 c2=1−b2c^{2}=1-b^{2}，且 F1=(−c,0)F_{1}=(-c,0)，F2=(c,0)F_{2}=(c,0). 由 AF2⊥xAF_{2}\perp x 轴，点 AA 的横坐标为 cc. 将 x=cx=c 代入椭圆方程，得 y2=b4y^{2}=b^{4}，所以 A=(c,±b2)A=(c,\pm b^{2}). 对上方情形 A=(c,b2)A=(c,b^{2}) 作如下计算；下方情形只需将 b2b^{2} 换成 −b2-b^{2}，代入后的交点方程仍相同，所得距离比也相同.
参数化直线 F1AF_{1}A：X(t)=(−c,0)+t(2c,b2)X(t)=(-c,0)+t(2c,b^{2})，其中 t=1t=1 对应点 AA. 代入椭圆方程，得 c2(2t−1)2+b2t2=1c^{2}(2t-1)^{2}+b^{2}t^{2}=1. 该方程的一个根为 11，另一个根 tBt_B 满足 tB=c2−14c2+b2=−b24c2+b2t_B=\dfrac{c^{2}-1}{4c^{2}+b^{2}}=-\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}. 因而 BB 在 F1F_1 的另一侧，且 ∣BF1∣=b24c2+b2∣AF1∣\lvert BF_1\rvert=\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}\lvert AF_1\rvert. 由 ∣AF1∣=3∣BF1∣\lvert AF_1\rvert=3\lvert BF_1\rvert，得 4c2+b2=3b24c^{2}+b^{2}=3b^{2}，即 b2=2c2b^{2}=2c^{2}. 再结合 b2+c2=1b^{2}+c^{2}=1，得 b2=23b^{2}=\dfrac23. 所以椭圆方程为 x2+32y2=1x^{2}+\dfrac{3}{2}y^{2}=1. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知直线 y=ay = a 交抛物线 y=x2y = x^2 于 AA，BB 两点，若该抛物线上存在点 CC，使得 ∠ACB\angle ACB 为直角，则 aa 的取值范围为______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=4sin⁡θ\rho = 4\sin \theta 的圆心到直线 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）的距离是______.

2012 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点 FF 的直线交该抛物线于 AA，BB 两点，若 ∣AF∣=3|AF|=3，则 ∣BF∣=|BF|=______.

2012 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，如果 xx 与 yy 都是整数，就称点 (x,y)(x, y) 为整点，下列命题中正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果 kk 与 bb 都是无理数，则直线 y=kx+by = kx + b 不经过任何整点； ③ 直线 ll 经过无穷多个整点，当且仅当 ll 经过两个不同的整点； ④ 直线 y=kx+by = kx + b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：kk 与 bb 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线.

2011 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点坐标是______.

2010 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
以直角坐标系的原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} （ρ∈R\rho \in \mathbf{R}），它与曲线
{x=1+2cos⁡α,y=2+2sin⁡α,\begin{cases} x = 1 + 2\cos \alpha,\\ y = 2 + 2\sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数）相交于两点 AA 和 BB，则 ∣AB∣=|AB| =______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2n−y212−n=1\frac{x^2}{n} - \frac{y^2}{12 - n} = 1 的离心率是 3\sqrt{3}. 则 n=n =______.

2008 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，抛物线 y=−x2+1y = -x^{2} + 1 与 xx 轴的正半轴交于点 AA，将线段 OAOA 的 nn 等分点从左至右依次记为 P1P_{1}，P2P_{2}，⋯\cdots，Pn−1P_{n-1}，过这些分点分别作 xx 轴的垂线，与抛物线 CC 的交点依次为 Q1Q_{1}，Q2Q_{2}，⋯\cdots，Qn−1Q_{n-1}，从而得到 n−1n - 1 个直角三角形 △Q1OP1\triangle Q_{1}OP_{1}，△Q2P1P2\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}，⋯\cdots，△Qn−1Pn−2Pn−1\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}. 当 n→∞n \to \infty 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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