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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F1(−17,0)F_1(-\sqrt{17},0)，F2(17,0)F_2(\sqrt{17},0)，满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=2|MF_1|-|MF_2|=2 的点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设点 TT 在直线 x=12x=\frac{1}{2} 上，过 TT 的两条直线分别交 CC 于 AA，BB 两点和 PP，QQ 两点，且 TA⋅TB=TP⋅TQTA\cdot TB=TP\cdot TQ，求直线 ABAB 的斜率与直线 PQPQ 的斜率之和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知 AA，BB 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1）的左，右顶点，GG 为 EE 的上顶点，AG→⋅GB→=8\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8. PP 为直线 x=6x=6 上的动点，PAPA 与 EE 的另一交点为 CC，PBPB 与 EE 的另一交点为 DD.
(1) 求 EE 的方程； (2) 证明：直线 CDCD 过定点.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=cos⁡ktx=\cos^k t，y=sin⁡kty=\sin^k t（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知 AA，BB 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1）的左，右顶点，GG 为 EE 的上顶点，AG→⋅GB→=8\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8. PP 为直线 x=6x=6 上的动点，PAPA 与 EE 的另一交点为 CC，PBPB 与 EE 的另一交点为 DD.
(1) 求 EE 的方程； (2) 证明：直线 CDCD 过定点.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡kt,y=sin⁡kt\begin{cases} x=\cos^k t,\\ y=\sin^k t \end{cases}
（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知点 AA，BB 关于坐标原点 OO 对称，∣AB∣=4|AB|=4，⊙M\odot M 过点 AA，BB 且与直线 x+2=0x+2=0 相切.
(1) 若 AA 在直线 x+y=0x+y=0 上，求 ⊙M\odot M 的半径； (2) 是否存在定点 PP，使得当 AA 运动时，∣MA∣−∣MP∣|MA|-|MP| 为定值？并说明理由.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=1−t21+t2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}，y=4t1+t2y=\dfrac{4t}{1+t^2}（tt 为参数），以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho \cos \theta+\sqrt3\,\rho \sin \theta+11=0.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 距离的最小值.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k|x|+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 CC 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 (5,0)(\sqrt{5}, 0). 离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若动点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为椭圆 CC 外一点，且点 PP 到椭圆 CC 的两条切线相互垂直，求点 PP 的轨迹方程.

2014 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 (5,0)(\sqrt{5}, 0)，离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若动点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为椭圆 CC 外一点，且点 PP 到椭圆 CC 的两条切线互相垂直，求点 PP 的轨迹方程.

2014 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 l:x−y−2=0l: x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程. (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程. (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 ll：x−y−2=0x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程； (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率 e=23e = \sqrt{\frac{2}{3}}，且椭圆 CC 上的点到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最大值为 33.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 在椭圆 CC 上，是否存在点 M(m,n)M(m, n)，使得直线 l:mx+ny=1l: mx + ny = 1 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于不同的两点 AA，BB，且 △OAB\triangle OAB 的面积最大？若存在，求出点 MM 的坐标及相对应的 △OAB\triangle OAB 的面积；若不存在，请说明理由.

2012 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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