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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F1(−17,0)F_1(-\sqrt{17},0)，F2(17,0)F_2(\sqrt{17},0)，满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=2|MF_1|-|MF_2|=2 的点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设点 TT 在直线 x=12x=\frac{1}{2} 上，过 TT 的两条直线分别交 CC 于 AA，BB 两点和 PP，QQ 两点，且 TA⋅TB=TP⋅TQTA\cdot TB=TP\cdot TQ，求直线 ABAB 的斜率与直线 PQPQ 的斜率之和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 E:x24+y23=1E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 AA 在椭圆 EE 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2AF_2\perp F_1F_2，直线 AF1AF_1 与椭圆 EE 相交于另一点 BB.
(1) 求 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的周长； (2) 在 xx 轴上任取一点 PP，直线 APAP 与椭圆 EE 的右准线相交于点 QQ，求 OP→⋅QP→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP} 的最小值； (3) 设点 MM 在椭圆 EE 上，记 △OAB\triangle OAB 与 △MAB\triangle MAB 的面积分别为 S1S_1，S2S_2，若 S2=3S1S_2=3S_1，求点 MM 的坐标.

2020 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知点 A ⁣(ρ1,π3)A\!\left(\rho_1,\dfrac\pi3\right) 在直线 l:ρcos⁡θ=2l:\rho\cos\theta=2 上，点 B ⁣(ρ2,π6)B\!\left(\rho_2,\dfrac\pi6\right) 在圆 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上（其中 ρ≥0\rho\ge0，0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）.
(1) 求 ρ1\rho_1，ρ2\rho_2 的值； (2) 求出直线 ll 与圆 CC 的公共点的极坐标.

2020 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0). 过 F2F_2 作 xx 轴的垂线 ll，在 xx 轴的上方，ll 与圆 F2F_2：(x−1)2+y2=4a2(x-1)^2+y^2=4a^2 交于点 AA，与椭圆 CC 交于点 DD. 连结 AF1AF_1 并延长交圆 F2F_2 于点 BB，连结 BF2BF_2 交椭圆 CC 于点 EE，连结 DF1DF_1. 已知 DF1=52DF_1=\dfrac52.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 求点 EE 的坐标.

2019 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★★
如图，一个湖的边界是圆心为 OO 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ll，湖上有桥 ABAB（ABAB 是圆 OO 的直径）. 规划在公路 ll 上选两个点 PP，QQ，并修建两段直线型道路 PBPB，QAQA. 规划要求：线段 PBPB，QAQA 上的所有点到点 OO 的距离均不小于圆 OO 的半径. 已知点 AA，BB 到直线 ll 的距离分别为 ACAC 和 BDBD（CC，DD 为垂足），测得 AB=10AB=10，AC=6AC=6，BD=12BD=12（单位：百米）.
(1) 若道路 PBPB 与桥 ABAB 垂直，求道路 PBPB 的长； (2) 在规划要求下，PP 和 QQ 中能否有一个点选在 DD 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 PBPB 和 QAQA 的长度均为 dd（单位：百米），求当 dd 最小时，PP，QQ 两点间的距离.

2019 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知两点 A ⁣(3,π4)A\!\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right)，B ⁣(2,π2)B\!\left(\sqrt2,\dfrac{\pi}{2}\right)，直线 ll 的方程为 ρsin⁡(θ+π4)=3\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3.
(1) 求 AA，BB 两点间的距离； (2) 求点 BB 到直线 ll 的距离.

2019 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 过点 (3,12)\left(\sqrt3,\dfrac12\right)，焦点 F1(−3,0)F_1(-\sqrt3,0)，F2(3,0)F_2(\sqrt3,0)，圆 OO 的直径为 F1F2F_1F_2.
(1) 求椭圆 CC 及圆 OO 的方程； (2) 设直线 ll 与圆 OO 相切于第一象限内的点 PP.
(i) 若直线 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点，求点 PP 的坐标； (ii) 直线 ll 与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 267\dfrac{2\sqrt6}{7}，求直线 ll 的方程.

2018 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的半径为 22，ABAB 为圆 OO 的直径，PP 为 ABAB 延长线上一点，过 PP 作圆 OO 的切线，切点为 CC. 若 PC=23PC=2\sqrt3，求 BCBC 的长.

2018 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ll 的方程为 ρsin⁡ ⁣(π6−θ)=2\rho\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}-\theta\right)=2，曲线 CC 的方程为 ρ=4cos⁡θ\rho=4\cos\theta，求直线 ll 被曲线 CC 截得的弦长.

2018 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\dfrac12，两准线之间的距离为 88. 点 PP 在椭圆 EE 上，且位于第一象限，过点 F1F_1 作直线 PF1PF_1 的垂线 l1l_1，过点 F2F_2 作直线 PF2PF_2 的垂线 l2l_2.
(1) 求椭圆 EE 的标准方程； (2) 若直线 l1l_1，l2l_2 的交点 QQ 在椭圆 EE 上，求点 PP 的坐标.

2017 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=−8+t,y=t2\begin{cases} x=-8+t,\\ y=\dfrac{t}{2} \end{cases}
（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为
{x=2s2,y=22 s\begin{cases} x=2s^2,\\ y=2\sqrt2\,s \end{cases}
（ss 为参数）. 设 PP 为曲线 CC 上的动点，求点 PP 到直线 ll 的距离的最小值.

2017 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知以 MM 为圆心的圆 M:x2+y2−12x−14y+60=0M:x^2+y^2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4)A(2,4).
(1) 设圆 NN 与 xx 轴相切，与圆 MM 外切，且圆心 NN 在直线 x=6x=6 上，求圆 NN 的标准方程； (2) 设平行于 OAOA 的直线 ll 与圆 MM 相交于 BB，CC 两点，且 BC=OABC=OA，求直线 ll 的方程； (3) 设点 T(t,0)T(t,0) 满足：存在圆 MM 上的两点 PP 和 QQ，使得 TA→+TP→=TQ→\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}，求实数 tt 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=1+12t,y=32t\begin{cases} x=1+\dfrac12t,\\ y=\dfrac{\sqrt3}{2}t \end{cases}
（tt 为参数），椭圆 CC 的参数方程为
{x=cos⁡θ,y=2sin⁡θ\begin{cases} x=\cos\theta,\\ y=2\sin\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数）. 设直线 ll 与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的长.

2016 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 l:x−y−2=0l:x-y-2=0，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）.
(1) 若直线 ll 过抛物线 CC 的焦点，求抛物线 CC 的方程； (2) 已知抛物线 CC 上存在关于直线 ll 对称的相异两点 PP 和 QQ.
(i) 求证：线段 PQPQ 的中点坐标为 (2−p,−p)(2-p,-p)； (ii) 求 pp 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且右焦点 FF 到左准线 ll 的距离为 33.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过 FF 的直线与椭圆交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的垂直平分线分别交直线 ll 和 ABAB 于点 PP，CC，若 PC=2ABPC = 2AB，求直线 ABAB 的方程.

2015 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的极坐标方程为 ρ2+22ρsin⁡(θ−π4)−4=0\rho^2 + 2\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 4 = 0，求圆 CC 的半径.

2015 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点. 顶点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b). 连接 BF2BF_{2} 并延长交椭圆于点 AA，过点 AA 作 xx 轴的垂线交椭圆于另一点 CC，连接 F1CF_{1}C.
(1) 若点 CC 的坐标为 (43,13)\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)，且 BF2=2B F_{2} = \sqrt{2}，求椭圆的方程； (2) 若 F1C⊥ABF_{1}C \perp AB，求椭圆离心率 ee 的值.

2014 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，为了保护河上古桥 OAOA，规划建一座新桥 BCBC，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BCBC 与河岸 ABAB 垂直；保护区的边界为圆心 MM 在线段 OAOA 上并与 BCBC 相切的圆，且古桥两端 OO 和 AA 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m80 \mathrm{~m}. 经测量，点 AA 位于点 OO 正北方向 60 m60 \mathrm{~m} 处，点 CC 位于点 OO 正东方向 170 m170 \mathrm{~m} 处 （OCOC 为河岸）， tan⁡∠BCO=43\tan \angle BCO = \frac{4}{3}.
(1) 求新桥 BCBC 的长； (2) 当 OMOM 多长时，圆形保护区的面积最大？

2014 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=1−22t,y=2+22t,\begin{cases} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），直线 ll 与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 交于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的长.

2014 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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