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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x212+y2=1\frac{x^2}{12}+y^2=1. 设 AA，BB 是椭圆上异于 P(0,1)P(0,1) 的两点，且点 Q(0,12)Q\left(0,\frac12\right) 在线段 ABAB 上，直线 PAPA，PBPB 分别交直线 y=−12x+3y=-\frac12x+3 于 CC，DD 两点.
(1) 求点 PP 到椭圆上点的距离的最大值； (2) 求 ∣CD∣|CD| 的最小值.

2022 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知 FF 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，MM 为该抛物线准线与 xx 轴交点，且 ∣MF∣=2|MF|=2.
(1) 求抛物线方程； (2) 设过 FF 的直线交抛物线于 AA，BB，斜率为 22 的直线 ll 与直线 MAMA，MBMB，ABAB，xx 轴依次交于 PP，QQ，RR，NN，且 ∣RN∣2=∣PN∣⋅∣QN∣|RN|^2=|PN|\cdot|QN|，求直线 ll 在 xx 轴上的截距的范围.

2021 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 F(1,0)F(1,0) 为抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，点 CC 在抛物线上，使得 △ABC\triangle ABC 的重心 GG 在 xx 轴上，直线 ACAC 交 xx 轴于点 QQ，且 QQ 在点 FF 右侧. 记 △AFG\triangle AFG，△CQG\triangle CQG 的面积分别为 S1S_1，S2S_2.
(1) 求 pp 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最小值及此时点 GG 的坐标.

2019 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 PP 是 yy 轴左侧（不含 yy 轴）一点，抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 上存在不同的两点 AA，BB 满足 PAPA，PBPB 的中点均在 CC 上.
(1) 设 ABAB 中点为 MM，证明：PMPM 垂直于 yy 轴； (2) 若 PP 是半椭圆 x2+y24=1x^2+\dfrac{y^2}{4}=1（x<0x<0）上的动点，求 △PAB\triangle PAB 面积的取值范围.

2018 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，已知抛物线 x2=yx^2=y，点 A(−12,14)A\left(-\dfrac12,\dfrac14\right)，B(32,94)B\left(\dfrac32,\dfrac94\right)，抛物线上的点 P(x,y)P(x,y)（−12<x<32-\dfrac12<x<\dfrac32），过点 BB 作直线 APAP 的垂线，垂足为 QQ.
(1) 求直线 APAP 斜率的取值范围； (2) 求 ∣PA∣⋅∣PQ∣|PA|\cdot|PQ| 的最大值.

2017 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，设椭圆 C:x2a2+y2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1）.
(1) 求直线 y=kx+1y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 aa，kk 表示）； (2) 若任意以点 A(0,1)A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

2016 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，设抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，抛物线上的点 AA 到 yy 轴的距离等于 ∣AF∣−1|AF|-1.
(1) 求 pp 的值； (2) 若直线 AFAF 交抛物线于另一点 BB，过 BB 与 xx 轴平行的直线和过 FF 与 ABAB 垂直的直线交于点 NN，ANAN 与 xx 轴交于点 MM，求 MM 的横坐标的取值范围.

2016 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1 上两个不同的点 AA，BB 关于直线 y=mx+12y = mx + \frac{1}{2} 对称.
(1) 求实数 mm 的取值范围. (2) 求 △AOB\triangle AOB 面积的最大值（OO 为坐标原点）.

2015 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，已知抛物线 C1:y=14x2C_1:y=\frac{1}{4}x^2，圆 C2:x2+(y−1)2=1C_2:x^2+(y-1)^2=1，过点 P(t,0)P(t,0)（t>0t>0）作不过原点 OO 的直线 PAPA，PBPB 分别与抛物线 C1C_1 和圆 C2C_2 相切，AA，BB 为切点.
(1) 求点 AA，BB 的坐标； (2) 求 △PAB\triangle PAB 的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
=0pt =0pt

2015 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），动直线 ll 与椭圆 CC 只有一个公共点 PP，且点 PP 在第一象限.
(1) 已知直线 ll 的斜率为 kk，用 aa，bb，kk 表示点 PP 的坐标； (2) 若过原点 OO 的直线 l1l_{1} 与 ll 垂直，证明：点 PP 到直线 l1l_{1} 的距离的最大值为 a−ba - b.

2014 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知 △ABP\triangle ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4yC: x^2 = 4y 上，FF 为抛物线 CC 的焦点，点 MM 为 ABAB 的中点，PF→=3FM→\overrightarrow{PF} = 3\overrightarrow{FM}.
(1) 若 ∣PF∣=3|PF| = 3，求点 MM 的坐标； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积的最大值.

2014 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，点 P(0,−1)P(0, -1) 是椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个顶点，C1C_1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4C_2: x^2 + y^2 = 4 的直径，l1l_1，l2l_2 是过点 PP 且互相垂直的两条直线，其中 l1l_1 交圆 C2C_2 于 AA，BB 两点，l2l_2 交椭圆 C1C_1 于另一点 DD.
(1) 求椭圆 C1C_1 的方程； (2) 求 △ABD\triangle ABD 面积取最大值时直线 l1l_1 的方程.

2013 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知抛物线 CC 的顶点为 O(0,0)O(0,0). 焦点为 F(0,1)F(0,1).
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 过点 FF 作直线交抛物线 CC 于 AA，BB 两点. 若直线 AOAO，BOBO 分别交直线 l:y=x−2l: y = x - 2 于 MM，NN 两点，求 ∣MN∣|MN| 的最小值.

2013 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 12\frac{1}{2}. 其左焦点到点 P(2,1)P(2,1) 的距离为 10\sqrt{10}. 不经过原点 OO 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，且线段 ABAB 被直线 OPOP 平分.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积取最大值时直线 ll 的方程.

2012 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，在直角坐标系 xOyxOy 中，点 P(1,12)P\left(1, \frac{1}{2}\right) 到抛物线 C:y2=2pxC: y^2 = 2px （p>0p > 0）的准线的距离为 54\frac{5}{4}. 点 M(t,1)M(t, 1) 是 CC 上的定点，AA，BB 是 CC 上的两动点，且线段 ABAB 被直线 OMOM 平分.
(1) 求 pp，tt 的值； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积的最大值.

2012 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知抛物线 C1:x2=yC_1: x^2 = y，圆 C2:x2+(y−4)2=1C_2: x^2 + (y - 4)^2 = 1 的圆心为点 MM.
(1) 求点 MM 到抛物线 C1C_{1} 的准线的距离； (2) 已知点 PP 是抛物线 C1C_{1} 上一点 （异于原点），过点 PP 作圆 C2C_{2} 的两条切线，交抛物线 C1C_{1} 于 AA，BB 两点，若过 MM，PP 两点的直线 ll 垂直于 ABAB，求直线 ll 的方程.

2011 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设 PP 为抛物线 C1:x2=yC_1: x^2 = y 上的动点，过点 PP 做圆 C2:x2+(y+3)2=1C_2: x^2 + (y + 3)^2 = 1 的两条切线，交直线 l:y=−3l: y = -3 于 AA，BB 两点.
(1) 求 C2C_{2} 的圆心 MM 到抛物线 C1C_{1} 准线的距离. (2) 是否存在点 PP，使线段 ABAB 被抛物线 C1C_1 在点 PP 处的切线平分，若存在，求出点 PP 的坐标；若不存在，请说明理由.

2011 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知 m>1m > 1，直线 l:x−my−m22=0l: x - my - \frac{m^2}{2} = 0，椭圆 CC：x2m2+y2=1\frac{x^2}{m^2} + y^2 = 1，F1F_1，F2F_2 分别为椭圆 CC 的左、右焦点.
(1) 当直线 ll 过右焦点 F2F_2 时，求直线 ll 的方程； (2) 设直线 ll 与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点，△AF1F2\triangle AF_1F_2，△BF1F2\triangle BF_1F_2 的重心分别为 GG，HH. 若原点 OO 在以线段 GHGH 为直径的圆内，求实数 mm 的取值范围.
\begin{solution} 椭圆的焦点为 F1=(−m2−1,0)F_1=(-\sqrt{m^2-1},0)，F2=(m2−1,0)F_2=(\sqrt{m^2-1},0).
\begin{enumerate} \item 直线经过 F2F_2，所以
m2−1−m22=0\sqrt{m^2-1}-\frac{m^2}{2}=0
令 t=m2t=m^2，则 t>1t>1，且 t−1=t2\sqrt{t-1}=\frac t2. 平方得 t−1=t24t-1=\frac{t^2}{4}，(t−2)2=0(t-2)^2=0. 所以 m=2m=\sqrt2，直线方程为
l:x−2y−1=0l:x-\sqrt2y-1=0
\item 设 A=(x1,y1)A=(x_1,y_1)，B=(x2,y2)B=(x_2,y_2). 由直线方程
x=my+m22x=my+\frac{m^2}{2}
代入椭圆方程，得
2y2+my+m24−1=02y^2+my+\frac{m^2}{4}-1=0
因此 y1+y2=−m2y_1+y_2=-\frac m2，y1y2=m28−12y_1y_2=\frac{m^2}{8}-\frac12. 由于 F1F_1，F2F_2 的中点为原点，两个三角形的重心分别为 G=(x13,y13)G=\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right)，H=(x23,y23)H=\left(\frac{x_2}{3},\frac{y_2}{3}\right). 原点在以 GHGH 为直径的圆内，当且仅当
OG→⋅OH→<0\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{OH}<0
即
x1x2+y1y2<0x_1x_2+y_1y_2<0
利用 xi=myi+m22x_i=my_i+\frac{m^2}{2}，有
x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m32(y1+y2)+m44=(m2+1)(m28−12)−m44+m44=(m2+1)(m2−4)8.\begin{aligned} x_1x_2+y_1y_2 &=(m^2+1)y_1y_2+\frac{m^3}{2}(y_1+y_2)+\frac{m^4}{4}\\ &=(m^2+1)\left(\frac{m^2}{8}-\frac12\right)-\frac{m^4}{4}+\frac{m^4}{4}\\ &=\frac{(m^2+1)(m^2-4)}8. \end{aligned}
因 m2+1>0m^2+1>0，上式小于零等价于 m2<4m^2<4. 结合 m>1m>1，得
1<m<21<m<2
此时交点确为两个不同点，因为二次方程判别式 8−m2>08-m^2>0. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知 mm 是非零实数，抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px （p>0p > 0） 的焦点 FF 在直线 l:x−my−m22=0l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0 上.
(1) 若 m=2m = 2，求抛物线 CC 的方程； (2) 设直线 ll 与抛物线 CC 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 分别作抛物线 CC 的准线的垂线，垂足为 A1A_{1}，B1B_{1}，△AA1F\triangle AA_{1}F，△BB1F\triangle BB_{1}F 的重心分别为 GG，HH. 求证：对任意非零实数 mm，抛物线 CC 的准线与 xx 轴的交点在以线段 GHGH 为直径的圆外.

2010 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C1:y2a2+x2b2=1C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 A(1,0)A(1,0)，过 C1C_1 的焦点且垂直长轴的弦长为 11.
(1) 求椭圆 C1C_1 的方程； (2) 设点 PP 在抛物线 C2:y=x2+hC_2:y=x^2+h（h∈Rh\in\mathbf{R}）上，C2C_2 在点 PP 处的切线与 C1C_1 交于点 MM，NN. 当线段 APAP 的中点与 MNMN 的中点的横坐标相等时，求 hh 的最小值.

2009 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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