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125分解析几何★★☆☆☆
双曲线 5x2−6y2=15x^2-6y^2=1 的离心率为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，AA 为 CC 的右顶点，BB 为 CC 上的点，且 BF⊥xBF\perp x 轴. 若 ABAB 的斜率为 33，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
直线 y=x+1y=x+1 与圆 x2+y2+2y−3=0x^2+y^2+2y-3=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
如图，圆 CC 与 xx 轴相切于点 T(1,0)T(1,0)，与 yy 轴正半轴交于两点 AA，BB（BB 在 AA 的上方），且 ∣AB∣=2|AB|=2.
(1) 圆 CC 的标准方程为______； (2) 过点 AA 任作一条直线与圆 O ⁣:x2+y2=1O\colon x^2+y^2=1 相交于 MM，NN 两点，下列三个结论：
① ∣NA∣∣NB∣=∣MA∣∣MB∣\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|MA|}{|MB|}； ② ∣NB∣∣NA∣−∣MA∣∣MB∣=2\dfrac{|NB|}{|NA|}-\dfrac{|MA|}{|MB|}=2； ③ ∣NB∣∣NA∣+∣MA∣∣MB∣=22\dfrac{|NB|}{|NA|}+\dfrac{|MA|}{|MB|}=2\sqrt2.
其中正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号）

2015 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如图，PAPA 是圆的切线，AA 为切点，PBCPBC 是圆的割线，且 BC=3PBBC=3PB，则 ABAC=\dfrac{AB}{AC}=______.

2015 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 ll 的极坐标方程为 ρ(sin⁡θ−3cos⁡θ)=0\rho(\sin\theta-3\cos\theta)=0，曲线 CC 的参数方程为
{x=t−1t,y=t+1t\begin{cases} x=t-\dfrac1t,\\ y=t+\dfrac1t \end{cases}
（tt 为参数），ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=|AB|=______.

2015 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，圆 CC 与 xx 轴相切于点 T(1,0)T(1,0)，与 yy 轴正半轴交于两点 AA，BB（BB 在 AA 的上方），且 ∣AB∣=2|AB|=2.
(1) 圆 CC 的标准方程为______. (2) 圆 CC 在点 BB 处的切线在 xx 轴上的截距为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
直线 l1:y=x+al_{1}: y = x + a 和 l2:y=x+bl_{2}: y = x + b 分别将单位圆 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2=a^{2} + b^{2}=______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如图，PP 为 ⊙O\odot O 外一点，过 PP 点作 ⊙O\odot O 的两条切线，切点分别为 AA，BB，过 PAPA 的中点 QQ 作割线交 ⊙O\odot O 于 CC，DD 两点. 若 QC=1QC = 1，CD=3CD = 3，则 PB=PB =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★☆☆☆
已知曲线 C1C_{1} 的参数方程是
{x=t,y=3t3,\begin{cases} x = \sqrt{t},\\ y = \frac{\sqrt{3t}}{3}, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_{2} 的极坐标方程是 ρ=2\rho = 2，则 C1C_{1} 与 C2C_{2} 交点的直角坐标为______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
已知圆 O:x2+y2=1O: x^{2} + y^{2} = 1 和点 A(−2,0)A(-2,0)，若定点 B(b,0)B(b,0) （b≠−2b \neq -2） 和常数 λ\lambda 满足：对圆 OO 上任意一点 MM，都有 ∣MB∣=λ∣MA∣|MB| = \lambda |MA|，则
(1) b=‾b =\underline{\hspace{2em}}； (2) λ=‾\lambda =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，圆 OO 上一点 CC 在直径 ABAB 上的射影为 DD，点 DD 在半径 OCOC 上的射影为 EE，若 AB=3ADAB = 3AD，则 CEEO\dfrac{CE}{EO} 的值为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 的参数方程为
{x=acos⁡φ,y=bsin⁡φ,\begin{cases} x = a\cos\varphi,\\ y = b\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数，a>b>0a > b > 0），在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，直线 ll 与圆 OO 的极坐标方程分别为 ρsin⁡(θ+π4)=22m\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}m（mm 为非零常数）与 ρ=b\rho = b，若直线 ll 经过椭圆 CC 的焦点，且与圆 OO 相切，则椭圆 CC 的离心率为______.

2013 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知圆 O:x2+y2=5O: x^{2} + y^{2} = 5，直线 l:xcos⁡θ+ysin⁡θ=1l: x \cos \theta + y \sin \theta = 1（0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}）. 设圆 OO 上到直线 ll 的距离等于 1 的点的个数为 kk，则 k=k =______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
如图，双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（aa，b>0b > 0）的两顶点为 A1A_1，A2A_2，虚轴两端点为 B1B_1，B2B_2，两焦点为 F1F_1，F2F_2. 若以 A1A2A_1A_2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2F_1B_1F_2B_2，切点分别为 AA，BB，CC，DD. 则
(1) 双曲线的离心率 e=‾e =\underline{\hspace{2em}}； (2) 菱形 F1B1F2B2F_{1}B_{1}F_{2}B_{2} 的面积 S1S_{1} 与矩形 ABCDABCD 的面积 S2S_{2} 的比值 S1S2=‾\frac{S_{1}}{S_{2}} =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，点 DD 在 ⊙O\odot O 的弦 ABAB 上移动，AB=4AB = 4. 连接 ODOD，过点 DD 作 ODOD 的垂线交 ⊙O\odot O 于点 CC，则 CDCD 的最大值为______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} 与曲线
{x=t+1,y=(t−1)2,\begin{cases} x = t + 1,\\ y = (t - 1)^2, \end{cases}
（tt 为参数） 相交于 AA，BB 两点，则线段 ABAB 的中点的直角坐标为______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
如图，直角坐标系 xOyxOy 所在的平面为 α\alpha，直角坐标系 x′Oy′x'Oy'（其中 y′y' 轴与 yy 轴重合）所在的平面为 β\beta，∠xOx′=45∘\angle xOx'=45^\circ.
(1) 已知平面 β\beta 内有一点 P′(22,2)P'\left(2\sqrt{2},2\right)，则点 P′P' 在平面 α\alpha 内的射影 PP 的坐标为______. (2) 已知平面 β\beta 内的曲线 C′C' 的方程是 (x′−2)2+2y′2−2=0\left(x'-\sqrt{2}\right)^2+2y'^2-2=0，则曲线 C′C' 在平面 α\alpha 内的射影 CC 的方程是______.

2011 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
过点 (−1,−2)(-1, -2) 的直线 ll 被圆 x2+y2−2x−2y+1=0x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 1 = 0 截得的弦长为 2\sqrt{2}，则直线 ll 的斜率为______.

2011 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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