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125分解析几何★★☆☆☆
双曲线 5x2−6y2=15x^2-6y^2=1 的离心率为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，AA 为 CC 的右顶点，BB 为 CC 上的点，且 BF⊥xBF\perp x 轴. 若 ABAB 的斜率为 33，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
直线 y=x+1y=x+1 与圆 x2+y2+2y−3=0x^2+y^2+2y-3=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1⩽0,x+2y−8⩽0,x⩾0,\begin{cases} x - y + 1 \leqslant 0,\\ x + 2y - 8 \leqslant 0,\\ x \geqslant 0, \end{cases}
则 z=3x+yz = 3x + y 的最小值为______.

2014 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c，若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.

2013 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c. 若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.
\begin{answer} 3−1\sqrt{3}-1 \end{answer}
\begin{solution} 取左、右焦点分别为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0). 直线 y=3(x+c)y=\sqrt3(x+c) 经过 F1F_1，其向右上方的射线与 xx 轴正方向的夹角为 60∘60^\circ. 若点 MM 在该直线的另一条射线上，则 ∠MF1F2=120∘\angle MF_1F_2=120^\circ，由题设得 ∠MF2F1=60∘\angle MF_2F_1=60^\circ，从而三角形在 MM 处的内角为 0∘0^\circ，与三角形非退化矛盾. 因此 MM 在向右上方的射线上，从而
∠MF1F2=60∘\angle MF_1F_2=60^\circ
由题设 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1，得 ∠MF2F1=30∘\angle MF_2F_1=30^\circ，于是三角形 MF1F2MF_1F_2 在 MM 处为直角三角形. 因为 F1F2=2cF_1F_2=2c，所以由 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形的边长关系，MF1=cMF_1=c，MF2=3cMF_2=\sqrt3c.
点 MM 在椭圆上，故由椭圆定义
2a=MF1+MF2=(1+3)c2a=MF_1+MF_2=(1+\sqrt3)c
因此离心率
e=ca=21+3=3−1e=\frac ca=\frac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★☆☆☆☆
若双曲线 x24−y2b2=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （b>0b > 0） 的渐近线方程为 y=±12xy = \pm \frac{1}{2}x，则 bb 等于______.

2010 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点 FF 作倾斜角为 45∘45^{\circ} 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，若线段 ABAB 的长为 88，则 p=p =______.
\begin{solution} 抛物线y2=2pxy^2=2px的焦点为F(p2,0)F\left(\frac{p}{2},0\right).倾斜角为45∘45^{\circ}的直线为 y=x−p2y=x-\frac{p}{2}.代入抛物线得
(x−p2)2=2px⟺x2−3px+p24=0\left(x-\frac{p}{2}\right)^2=2px \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-3px+\frac{p^2}{4}=0
设两交点的横坐标为x1x_1，x2x_2，则 ∣x1−x2∣=9p2−p2=22p\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{9p^2-p^2}=2\sqrt{2}p.由于直线斜率为11，弦长
AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=2∣x1−x2∣=4pAB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} =\sqrt{2}\lvert x_1-x_2\rvert=4p
由AB=8AB=8得p=2p=2. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆
{x=1+cos⁡θ,y=−2+sin⁡θ,\begin{cases} x = 1 + \cos \theta,\\ y = -2 + \sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} m<0m<0 或 m>10m>10 \end{answer} \begin{solution} 参数方程表示的圆为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，圆心为 C(1,−2)C(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
d=∣3⋅1+4⋅(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5d=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当 d>1d>1，即 ∣m−5∣>5|m-5|>5. 解得 m<0m<0 或 m>10m>10. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆 x2+y2−2x+4y+4=0x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 4 = 0 没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______.
\begin{answer} (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} 圆的方程可化为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，所以圆心为 (1,−2)(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
∣3×1+4×(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5\frac{|3\times1+4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当该距离大于半径，即 ∣m−5∣5>1\frac{|m-5|}{5}>1. 因而 ∣m−5∣>5|m-5|>5，解得 m<0m<0 或 m>10m>10，所以取值范围为 (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty). \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD，则以 AA，BB 为焦点，且过 CC，DD 两点的椭圆的离心率为______.

2007 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知长方形 ABCDABCD，AB=4AB = 4，BC=3BC = 3，则以 AA，BB 为焦点，且过 CC，DD 两点的椭圆的离心率为______.

2007 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知直线 x−y−1=0x - y - 1 = 0 与抛物线 y=ax2y = ax^2 相切，则 a=a =______.

2006 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知直线 x−y−1=0x - y - 1 = 0 与抛物线 y=ax2y = ax^2 相切，则 a=a =______.

2006 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
直线 x+2y=0x+2y=0 被曲线 x2+y2−6x−2y−15=0x^2+y^2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于______.

2004 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
直线 x+2y=0x + 2y = 0 被曲线 x2+y2−6x−2y−15=0x^{2} + y^{2} - 6x - 2y - 15 = 0 所截得的弦长等于______.

2004 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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