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13解析几何★★☆☆☆
已知点 A(1,5)A(1,5) 在抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 上，则 AA 到 CC 的准线距离为______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知点 A(1,5)A(1,\sqrt5) 在抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 上，则 AA 到 CC 的准线的距离为______.
\begin{answer} 94\frac94 \end{answer}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中的三点的一个圆的方程为______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中任意三点可得的一个圆的方程为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2m−y2=1C:\frac{x^2}{m}-y^2=1（m>0m>0）的一条渐近线为 3x+my=0\sqrt3 x+my=0，则 CC 的焦距为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
双曲线 x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的右焦点到直线 x+2y−8=0x+2y-8=0 的距离为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 的准线经过双曲线 x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1 的一个焦点，则 p=p =______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★☆☆☆☆
若圆 CC 的半径为 1，其圆心与点 (1,0)(1,0) 关于直线 y=xy = x 对称，则圆 CC 的标准方程为______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 (2,π6)\left(2, \frac{\pi}{6}\right) 到直线 ρsin⁡(θ−π6)=1\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = 1 的距离是______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 15 题（C） · 填空题

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11解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的准线方程为______. \begin{answer} x=−1x=-1 \end{answer} \begin{solution} 抛物线标准方程为 y2=4pxy^2=4px，与 y2=4xy^2=4x 比较得 p=1p=1. 其准线方程为 x=−px=-p，所以准线方程为 x=−1x=-1. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 中，BC=6BC = 6，以 BCBC 为直径的半圆分别交 ABAB，ACAC 于点 EE，FF，若 AC=2AEAC = 2AE，则 EF=‾EF =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 33 \end{answer} \begin{solution} 因为 EE，FF 在以 BCBC 为直径的圆上，所以 ∠BEC=∠BFC=90∘\angle BEC=\angle BFC=90^\circ. 设 AE=tAE=t，则 AC=2tAC=2t. 在直角三角形 AECAEC 中，cos⁡A=AEAC=12\cos A=\frac{AE}{AC}=\frac12，所以 A=60∘A=60^\circ. 由点 AA 关于该圆的幂，
AE⋅AB=AF⋅ACAE\cdot AB=AF\cdot AC
代入 AC=2AEAC=2AE 得 AB=2AFAB=2AF，所以 AF=12ABAF=\frac12AB. 取 AA 为原点，令 ABAB 在 xx 轴正向，设 AB=sAB=s. 则 B=(s,0)B=(s,0)，C=(t,3t)C=(t,\sqrt3t)，E=(t,0)E=(t,0)，F=(s4,3s4)F=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt3s}{4}\right). 于是
EF2=(s4−t)2+(3s4)2=14(s2+4t2−2st)=14BC2=9EF^2=\left(\frac{s}{4}-t\right)^2+\left(\frac{\sqrt3s}{4}\right)^2 =\frac14(s^2+4t^2-2st)=\frac14BC^2=9
因为 EF>0EF>0，所以 EF=3EF=3. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 15 题（B） · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 (2,π6)\left(2, \frac{\pi}{6}\right) 到直线 ρsin⁡(θ−π6)=1\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = 1 的距离是______. \begin{answer} 11 \end{answer} \begin{solution} 由极坐标与直角坐标的关系 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，直线方程化为 ρ(sin⁡θcos⁡π6−cos⁡θsin⁡π6)=1\rho\left(\sin\theta\cos\frac\pi6-\cos\theta\sin\frac\pi6\right)=1，即 32y−12x=1\frac{\sqrt3}{2}y-\frac12x=1，从而 3y−x=2\sqrt3y-x=2. 点 (2,π6)\left(2,\frac\pi6\right) 的直角坐标为 (3,1)(\sqrt3,1). 因此点到直线 x−3y+2=0x-\sqrt3y+2=0 的距离为 d=∣3−3+2∣1+3=1d=\frac{|\sqrt3-\sqrt3+2|}{\sqrt{1+3}}=1. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 15 题（C） · 填空题

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11解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x216−y2m=1\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{m}=1 的离心率为 54\dfrac54，则 mm 等于______.
\begin{answer} 99 \end{answer}
\begin{solution} 双曲线的半实轴长满足 a2=16a^2=16，所以 a=4a=4. 由离心率公式 e=ca=54e=\dfrac ca=\dfrac54 得 c=5c=5. 又 c2=a2+b2=16+mc^2=a^2+b^2=16+m，所以 25=16+m25=16+m，即 m=9m=9，故填 99. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
若点 (x,y)(x,y) 位于曲线 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 与 y=2y=2 所围成的封闭区域，则 2x−y2x-y 的最小值为______.
\begin{answer} −4-4 \end{answer}
\begin{solution} 封闭区域是由 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 和 y=2y=2 围成的三角形，其三个顶点为 (−1,2)(-1,2)，(1,0)(1,0)，(3,2)(3,2). 线性函数 2x−y2x-y 在该三角形上的最小值出现在顶点处，分别为 −4-4，22，44，所以最小值为 −4-4，故填 −4-4. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，弦 ABAB 与 CDCD 相交于 ⊙O\odot O 内一点 EE，过 EE 作 BCBC 的平行线与 ADAD 的延长线相交于点 PP. 已知 PD=2DA=2PD=2DA=2，则 PE=‾PE=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 6\sqrt6 \end{answer}
\begin{solution} 因为 PP，DD，AA 共线且 DD，AA 在 PP 的同一侧，所以 ∠EPD=∠EPA\angle EPD=\angle EPA. 又因 PE∥BCPE\parallel BC，EDED 与 CDCD 共线，EAEA 与 ABAB 共线，有 ∠PED=∠BCD\angle PED=\angle BCD，∠PAE=∠DAB\angle PAE=\angle DAB. 点 AA，BB，CC，DD 共圆，故 ∠BCD=∠DAB\angle BCD=\angle DAB，从而 ∠PED=∠PAE\angle PED=\angle PAE. 因此 △PED∼△PEA\triangle PED\sim\triangle PEA，对应边满足 PEPA=PDPE\dfrac{PE}{PA}=\dfrac{PD}{PE}，即 PE2=PA⋅PDPE^2=PA\cdot PD. 由 PD=2DA=2PD=2DA=2 得 DA=1DA=1，从而 PA=PD+DA=3PA=PD+DA=3. 所以 PE2=3×2=6PE^2=3\times2=6，又 PE>0PE>0，故 PE=6PE=\sqrt6. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★★☆☆
如图，以过原点的直线的倾斜角 θ\theta 为参数，则圆 x2+y2−x=0x^2+y^2-x=0 的参数方程为______.
\begin{answer} x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta \end{answer}
\begin{solution} 过原点的直线斜率为 tan⁡θ\tan\theta，故非竖直时可写为 y=xtan⁡θy=x\tan\theta. 代入圆方程得 x2(1+tan⁡2θ)−x=0x^2(1+\tan^2\theta)-x=0，除去原点对应的交点后，另一个交点满足 x=11+tan⁡2θ=cos⁡2θx=\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta. 于是 y=xtan⁡θ=cos⁡2θtan⁡θ=sin⁡θcos⁡θy=x\tan\theta=\cos^2\theta\tan\theta=\sin\theta\cos\theta. 当 cos⁡θ=0\cos\theta=0 时，上式给出原点，也满足圆方程，因此参数方程为 x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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11解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x216−y29=1\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 的离心率为______.

2013 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
如图，ABAB 与 CDCD 相交于点 EE，过 EE 作 BCBC 的平行线与 ADAD 的延长线交于点 PP，已知 ∠A=∠C\angle A = \angle C，PD=2DA=2PD = 2DA = 2，则 PE=‾PE =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★☆☆☆
圆锥曲线 x=t2x = t^{2}， y=2t\ y = 2t（tt 为参数）的焦点坐标是______.

2013 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
如图是抛物线形拱桥，当水面在 ll 时，拱顶离水面 2 米2\text{ 米}，水面宽 4 米4\text{ 米}，水位下降 1 米1\text{ 米} 后，水面宽______米\text{米}.

2012 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如图，在圆 OO 中，直径 ABAB 与弦 CDCD 垂直，垂足为 EE，EF⊥DBEF \perp DB，垂足为 FF，若 AB=6AB = 6，AE=1AE = 1，则 DF⋅DB=DF \cdot DB =______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 15 题（B） · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
直线 2ρcos⁡θ=12\rho\cos \theta = 1 与圆 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta 相交的弦长为______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 15 题（C） · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
如图是抛物线形拱桥，当水面在 ll 时，拱顶离水面 2 米2\text{ 米}，水面宽 4 米4\text{ 米}，水位下降 1 米1\text{ 米} 后，水面宽______米\text{米}.

2012 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
直线 2ρcos⁡θ=12\rho \cos \theta = 1 与圆 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta 相交的弦长为______.

2012 · 陕西 · 文 · 第 15 题（C） · 填空题

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