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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知点 AA，BB 关于坐标原点 OO 对称，∣AB∣=4|AB|=4，⊙M\odot M 过点 AA，BB 且与直线 x+2=0x+2=0 相切.
(1) 若 AA 在直线 x+y=0x+y=0 上，求 ⊙M\odot M 的半径； (2) 是否存在定点 PP，使得当 AA 运动时，∣MA∣−∣MP∣|MA|-|MP| 为定值？并说明理由.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=1−t21+t2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}，y=4t1+t2y=\dfrac{4t}{1+t^2}（tt 为参数），以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho \cos \theta+\sqrt3\,\rho \sin \theta+11=0.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 距离的最小值.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

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22解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，OO 为极点，点 M(ρ0,θ0)M(\rho_0,\theta_0)（ρ0>0\rho_0>0）在曲线 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上，直线 ll 过点 A(4,0)A(4,0) 且与 OMOM 垂直，垂足为 PP.
(1) 当 θ0=π3\theta_0=\dfrac{\pi}{3} 时，求 ρ0\rho_0 及 ll 的极坐标方程； (2) 当 MM 在 CC 上运动且 PP 在线段 OMOM 上时，求 PP 点轨迹的极坐标方程.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的两个焦点，PP 为 CC 上的点，OO 为坐标原点.
(1) 若 △POF2\triangle POF_2 为等边三角形，求 CC 的离心率； (2) 如果存在点 PP，使得 PF1⊥PF2PF_1\perp PF_2，且 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积等于 1616，求 bb 的值和 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，OO 为极点，点 M(ρ0,θ0)M(\rho_0,\theta_0)（ρ0>0\rho_0>0）在曲线 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上，直线 ll 过点 A(4,0)A(4,0) 且与 OMOM 垂直，垂足为 PP.
(1) 当 θ0=π3\theta_0=\dfrac{\pi}{3} 时，求 ρ0\rho_0 及 ll 的极坐标方程； (2) 当 MM 在 CC 上运动且 PP 在线段 OMOM 上时，求 PP 点轨迹的极坐标方程.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系 OxOx 中，A(2,0)A(2,0)，B(2,π4)B(\sqrt2,\dfrac{\pi}{4})，C(2,3π4)C(\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})，D(2,π)D(2,\pi)，弧 AB^\widehat{AB}，BC^\widehat{BC}，CD^\widehat{CD} 所在圆的圆心分别是 (1,0)(1,0)，(1,π2)(1,\dfrac{\pi}{2})，(1,π)(1,\pi)，曲线 M1M_1 是弧 AB^\widehat{AB}，曲线 M2M_2 是弧 BC^\widehat{BC}，曲线 M3M_3 是弧 CD^\widehat{CD}.
(1) 分别写出 M1M_1，M2M_2，M3M_3 的极坐标方程； (2) 曲线 MM 由 M1M_1，M2M_2，M3M_3 构成，若点 PP 在 MM 上，且 ∣OP∣=3|OP|=\sqrt3，求 PP 的极坐标.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E\left(0,\dfrac52\right) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求该圆的方程.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系 OxOx 中，A(2,0)A(2,0)，B(2,π4)B\left(\sqrt2,\frac{\pi}{4}\right)，C(2,3π4)C\left(\sqrt2,\frac{3\pi}{4}\right)，D(2,π)D(2,\pi)，弧 AB^\widehat{AB}，BC^\widehat{BC}，CD^\widehat{CD} 所在圆的圆心分别是 (1,0)(1,0)，(1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right)，(1,π)(1,\pi)，曲线 M1M_1 是弧 AB^\widehat{AB}，曲线 M2M_2 是弧 BC^\widehat{BC}，曲线 M3M_3 是弧 CD^\widehat{CD}.
(1) 分别写出 M1M_1，M2M_2，M3M_3 的极坐标方程； (2) 曲线 MM 由 M1M_1，M2M_2，M3M_3 构成，若点 PP 在 MM 上，且 ∣OP∣=3|OP|=\sqrt3，求 PP 的极坐标.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的短轴长为 44，离心率为 55\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 PP 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线 PBPB 与 xx 轴的交点，点 NN 在 yy 轴的负半轴上. 若 ∣ON∣=∣OF∣|ON|=|OF|（OO 为原点），且 OP⊥MNOP\perp MN，求直线 PBPB 的斜率.

2019 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，左顶点为 AA，上顶点为 BB. 已知 3∣OA∣=2∣OB∣\sqrt3|OA|=2|OB|（OO 为原点）.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设经过点 FF 且斜率为 34\dfrac34 的直线 ll 与椭圆在 xx 轴上方的交点为 PP，圆 CC 同时与 xx 轴和直线 ll 相切，圆心 CC 在直线 x=4x=4 上，且 OC//APOC//AP，求椭圆的方程.

2019 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，直线 ll 过 F2F_2 交椭圆于 AA，BB 两点.
(1) 若 ABAB 垂直于 xx 轴时，求 ∣AB∣|AB|； (2) 当 ∠F1AB=90∘\angle F_1AB=90^\circ 时，AA 在 xx 轴上方时，求 AA，BB 的坐标； (3) 若直线 AF1AF_1 交 yy 轴于 MM，直线 BF1BF_1 交 yy 轴于 NN，是否存在直线 ll，使 S△F1AB=S△F1MNS_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}，若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2019 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知抛物线方程 y2=4xy^2=4x，FF 为焦点，PP 为抛物线准线上一点，QQ 为线段 PFPF 与抛物线的交点，定义：d(P)=∣PF∣∣FQ∣d(P)=\dfrac{|PF|}{|FQ|}.
(1) 当 P(−1,−83)P\left(-1,-\dfrac83\right) 时，求 d(P)d(P)； (2) 证明：存在常数 aa，使得 2d(P)=∣PF∣+a2d(P)=|PF|+a； (3) P1P_1，P2P_2，P3P_3 为抛物线准线上三点，且 ∣P1P2∣=∣P2P3∣|P_1P_2|=|P_2P_3|，判断 d(P1)+d(P3)d(P_1)+d(P_3) 与 2d(P2)2d(P_2) 的关系.

2019 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0). 过 F2F_2 作 xx 轴的垂线 ll，在 xx 轴的上方，ll 与圆 F2F_2：(x−1)2+y2=4a2(x-1)^2+y^2=4a^2 交于点 AA，与椭圆 CC 交于点 DD. 连结 AF1AF_1 并延长交圆 F2F_2 于点 BB，连结 BF2BF_2 交椭圆 CC 于点 EE，连结 DF1DF_1. 已知 DF1=52DF_1=\dfrac52.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 求点 EE 的坐标.

2019 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★★
如图，一个湖的边界是圆心为 OO 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ll，湖上有桥 ABAB（ABAB 是圆 OO 的直径）. 规划在公路 ll 上选两个点 PP，QQ，并修建两段直线型道路 PBPB，QAQA. 规划要求：线段 PBPB，QAQA 上的所有点到点 OO 的距离均不小于圆 OO 的半径. 已知点 AA，BB 到直线 ll 的距离分别为 ACAC 和 BDBD（CC，DD 为垂足），测得 AB=10AB=10，AC=6AC=6，BD=12BD=12（单位：百米）.
(1) 若道路 PBPB 与桥 ABAB 垂直，求道路 PBPB 的长； (2) 在规划要求下，PP 和 QQ 中能否有一个点选在 DD 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 PBPB 和 QAQA 的长度均为 dd（单位：百米），求当 dd 最小时，PP，QQ 两点间的距离.

2019 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知两点 A ⁣(3,π4)A\!\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right)，B ⁣(2,π2)B\!\left(\sqrt2,\dfrac{\pi}{2}\right)，直线 ll 的方程为 ρsin⁡(θ+π4)=3\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3.
(1) 求 AA，BB 两点间的距离； (2) 求点 BB 到直线 ll 的距离.

2019 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 F(1,0)F(1,0) 为抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，点 CC 在抛物线上，使得 △ABC\triangle ABC 的重心 GG 在 xx 轴上，直线 ACAC 交 xx 轴于点 QQ，且 QQ 在点 FF 右侧. 记 △AFG\triangle AFG，△CQG\triangle CQG 的面积分别为 S1S_1，S2S_2.
(1) 求 pp 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最小值及此时点 GG 的坐标.

2019 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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