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035分解析几何★☆☆☆☆
若双曲线 CC 的虚轴长为实轴长的 7\sqrt{7} 倍，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
7\sqrt{7}
D.
222\sqrt{2}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 3 题 · 选择题

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075分解析几何★★★☆☆
若圆 x2+(y+2)2=r2x^2 + (y+2)^2 = r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为1的点有且仅有2个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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106分解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=6xC: y^2 = 6x 的焦点为 FF，过 FF 的一条直线交 CC 于 AA，BB 两点，过 AA 作直线 l:x=−32l: x = -\frac{3}{2} 的垂线，垂足为 DD，过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于 EE，则（ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD| = |AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE| = |AB|
C.
∣AB∣≥6|AB| \ge 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣≥18|AE| \cdot |BE| \ge 18

2025 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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065分解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 AA 在 CC 上，过 AA 作 CC 的准线的垂线，垂足为 BB. 若直线 BFBF 的方程为 y=−2x+2y=-2x+2，则 ∣AF∣=|AF|=（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2025 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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03解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x2−4y2=4x^2-4y^2=4 的离心率为（ ）
A.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
B.
52\dfrac{\sqrt{5}}{2}
C.
5
D.
5\sqrt{5}

2025 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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11解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的顶点到焦点的距离为 3，则 p=p=______.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，椭圆上一点到两焦点距离之和为 44.
(1) 求椭圆方程； (2) 设 O=(0,0)O=(0,0)，M(x0,y0)M(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）为椭圆上一点，直线 x0x+2y0y−4=0x_0x+2y_0y-4=0 与直线 y=2y=2，y=−2y=-2 交于 AA，BB. S1S_1，S2S_2 分别为 △OAM\triangle OAM 与 △OBM\triangle OBM 的面积，比较 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\dfrac{|OA|}{|OB|} 的大小.

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09解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，以右焦点 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）与双曲线在第一象限交于 PP，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|，则双曲线离心率 e=e=（ ）
A.
2
B.
5
C.
2+12\frac{\sqrt2+1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt5+1}{2}

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12解析几何★★★☆☆
l1:x−y+6=0l_1:x-y+6=0 与 xx 轴，yy 轴交点分别为 AA，BB，又与 (x+1)2+(y−3)2=r2(x+1)^2+(y-3)^2=r^2 交于 CC，DD，且 ∣AB∣=3∣CD∣|AB|=3|CD|，则 r=‾r=\underline{\hspace{2em}}.

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1（a>5a>\sqrt5），M(0,m)M(0,m)（m>0m>0），AA 为 Γ\Gamma 的右顶点.
(1) 若 Γ\Gamma 的焦点为 (2,0)(2,0)，求离心率 ee； (2) 若 a=4a=4，且 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}，求 mm； (3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为2， ll 与 Γ\Gamma 交于 CC，DD，且 ∠CMD\angle CMD 为钝角，求 aa 的取值范围.

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10解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y26−a2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6-a^2}=1（a>0a>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 通过 F2F_2 且倾斜角为 π3\dfrac\pi3 的直线与双曲线交于第一象限的点 AA，延长 AF2AF_2 至 BB 使得 AB=AF1AB=AF_1. 若 △BF1F2\triangle BF_1F_2 的面积为 363\sqrt6，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系中，已知曲线 Γ:x24+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1（y≥0y\ge0），点 PP，QQ 分别为 Γ\Gamma 上不同的两点，T(t,0)T(t,0).
(1) 求 Γ\Gamma 所在椭圆的离心率； (2) 若 T(1,0)T(1,0)，QQ 在 yy 轴上，且 TT 到直线 PQPQ 的距离为 55\dfrac{\sqrt5}{5}，求 PP 的坐标； (3) 是否存在 tt，使得 △TPQ\triangle TPQ 是以 TT 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 tt 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2025 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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