已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A(0, 1)$, 焦距为 $2\sqrt{3}$。 (1) 求椭圆 $E$ 的方程; (2) 过点 $P(-2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$, 直线 $AB, AC$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$。当 $|MN| = 2$ 时, 求 $k$ 的值。

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴, 且过 $A(0, -2)$, $B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right)$ 两点。

(1) 求 $E$ 的方程;

(2) 设过点 $P(1, -2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点, 过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$, 点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}$. 证明: 直线 $HN$ 过定点。

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴，且过 $A(0, -2)$，$B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right)$ 两点。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设过点 $P(1, -2)$ 的直线交 $E$ 于 $M$，$N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}$。证明：直线 $HN$ 过定点。