已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A(0, 1)$, 焦距为 $2\sqrt{3}$。 (1) 求椭圆 $E$ 的方程; (2) 过点 $P(-2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$, 直线 $AB, AC$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$。当 $|MN| = 2$ 时, 求 $k$ 的值。