已知椭圆 $A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，椭圆被直线 $x = b$ 截得的线段长为 $\sqrt{3}$。

(1) 求 $A$ 的标准方程；

(2) 斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与圆 $x^2 + y^2 = b^2$ 相切，且该直线交椭圆于 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，$A$ 是椭圆的上顶点。记直线 $AP, AQ$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\frac{k_1}{k_2}$。

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$（$a>1$），过右焦点垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$。

（1）求 $E$ 的离心率；

（2）设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G(t_0, 0)$（$t_0 \neq 0$）；$A(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）在 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交于点 $B$，$AO$ 与 $GB$ 交于点 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，$P$ 的轨迹为 $M$。

（i）求 $M$ 的方程；

（ii）曲线 $M$ 是否有中心点？当 $t_0$ 为何值时，$M$ 有中心点？当 $M$ 有中心点时，平移 $M$ 到 $M'$，使 $O$ 为 $M'$ 的中心点，说明 $M'$ 为何形状？

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

（i）若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程；

（ii）求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。