已知曲线 $C: x^2 + y^2 = 16 (y > 0)$, 从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $PP'$, $P'$ 为垂足, 则线段 $PP'$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为 ( )

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$), 焦点和短轴端点构成边长为 $2$ 的正方形。

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及离心率; (2) 过 $(0, t)$ ($t > \sqrt{2}$) 的直线与椭圆交于 $A, B$, 直线 $AC$ ($C(0,1)$) 与椭圆交于 $D$。若 $BD$ 斜率为 $0$, 求 $t$。

设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的右焦点为 $F$, 点 $M(1, \dfrac{3}{2})$ 在 $C$ 上, 且 $MF \perp x$ 轴. (1) 求 $C$ 的方程; (2) 过点 $P(4, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $N$ 为线段 $FP$ 的中点, 直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$, 证明: $AQ \perp y$ 轴.