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14概率与统计★☆☆☆☆
从甲，乙等 55 名同学中随机选 33 名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x3+1x)7\left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{7} 的展开式中 x5x^{5} 的系数是______.
\begin{solution} 展开式的第 k+1k+1 项为
C7k(x3)7−k(1x)k=C7kx21−4k\mathrm C_7^k(x^3)^{7-k}\left(\frac1x\right)^k=\mathrm C_7^k x^{21-4k}
令 21−4k=521-4k=5，得 k=4k=4，所以 x5x^5 的系数为 C74=35\mathrm C_7^4=35. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a≠0a \neq 0，nn 是大于 1 的自然数，(1+xa)n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n. 若点 Ai(i,ai)A_i(i, a_i)（i=0i = 0，11，22）的位置如图所示，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 二项式展开式中 ai=Cni1aia_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}. 由图中 A0=(0,1)A_0=(0,1)、A1=(1,3)A_1=(1,3)、A2=(2,4)A_2=(2,4)，得 a0=1a_0=1，a1=3a_1=3，a2=4a_2=4. 因而 na=3\dfrac na=3，Cn2a2=4\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4. 由 n=3an=3a 代入第二式，得 n(n−1)2a2=4\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4，即 3a(3a−1)2a2=4\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4. 因 a≠0a\neq0，化简得 a2−3a=0a^2-3a=0，所以 a=3a=3. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+ax3)8\left(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}}\right)^8 的展开式中 x4x^4 的系数为7，则实数 a=a =______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (x−1)21=a0+a1x+a2x2+⋯+a21x21(x - 1)^{21} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{21}x^{21}，则 a10+a11=‾a_{10} + a_{11} =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
(xy−yx)6\left(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{6} 的展开式中，x3x^{3} 的系数等于______.

2010 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
从长度分别为 22，33，44，55 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______.

2009 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x3+1x)n\left(2x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n} 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 nn 等于______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (1−x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(1 - x)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5}，则 (a0+a2+a4)(a1+a3+a5)(a_{0} + a_{2} + a_{4})(a_{1} + a_{3} + a_{5}) 的值等于______.

2007 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为______.

2007 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a>0a > 0，(ax2+1x)4\left(a x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4 展开式中 x3x^3 的系数为 32\frac{3}{2}，则 lim⁡n→+∞(a+a2+⋯+an)=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (a + a^2 + \cdots + a^n) =______.

2006 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
设常数 a>0a > 0，(ax2+1x)4\left(a x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4 展开式中 x3x^3 的系数为 32\frac{3}{2}，则 a=a =______.

2006 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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