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22计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，其中 n≥4n\ge 4，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 已知 a32=2a2a4a_3^2=2a_2a_4.
(1) 求 nn 的值； (2) 设 (1+3)n=a+b3(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3，其中 aa，b∈N∗b\in\mathbf{N}^*，求 a2−3b2a^2-3b^2 的值.

2019 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★★
设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，对 11，22，⋯\cdots，nn 的一个排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n，如果当 s<ts<t 时，有 is>iti_s>i_t，则称 (is,it)(i_s,i_t) 是排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的一个逆序，排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的所有逆序的总个数称为其逆序数. 例如：对 11，22，33 的一个排列 231231，只有两个逆序 (2,1)(2,1)，(3,1)(3,1)，则排列 231231 的逆序数为 2. 记 fn(k)f_n(k) 为 11，22，⋯\cdots，nn 的所有排列中逆序数为 kk 的全部排列的个数.
(1) 求 f3(2)f_3(2)，f4(2)f_4(2) 的值； (2) 求 fn(2)f_n(2)（n≥5n\ge5）的表达式（用 nn 表示）.

2018 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
(1) 求 7C63−4C747\mathrm C_6^3-4\mathrm C_7^4 的值； (2) 设 mm，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n≥mn\ge m，求证： (m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+⋯+nCn−1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.(m+1)\mathrm C_m^m+(m+2)\mathrm C_{m+1}^m+(m+3)\mathrm C_{m+2}^m+\cdots+n\mathrm C_{n-1}^m+(n+1)\mathrm C_n^m=(m+1)\mathrm C_{n+2}^{m+2}.

2016 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
设 ξ\xi 为随机变量，从棱长为 11 的正方体的 1212 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0\xi=0；当两条棱平行时，ξ\xi 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1\xi=1.
(1) 求概率 P(ξ=0)P(\xi=0)； (2) 求 ξ\xi 的分布列，并求其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23集合与逻辑基础★★★★★
设集合 Pn={1,2,⋯ ,n}P_n = \{1,2,\cdots,n\}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 记 f(n)f(n) 为同时满足下列条件的集合 AA 的个数：
① A⊆PnA \subseteq P_n； ② 若 x∈Ax \in A，则 2x∉A2x \notin A； ③ 若 x∈CPnAx \in C_{P_n}A，则 2x∉CPnA2x \notin C_{P_n}A.
(1) 求 f(4)f(4)； (2) 求 f(n)f(n) 的解析式（用 nn 表示）.

2012 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
对于正整数 n≥2n\ge2，用 TnT_n 表示关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的有序数组 (a,b)(a,b) 的组数，其中 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等）；对于随机选取的 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等），记 PnP_n 为关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的概率.
(1) 求 Tn2T_{n^2} 和 Pn2P_{n^2}； (2) 求证：对任意正整数 n≥2n\ge2，有 Pn>1−1nP_n>1-\frac{1}{\sqrt n}.

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
请先阅读：在等式 cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）的两边对 xx 求导 (cos⁡2x)′=(2cos⁡2x−1)′(\cos 2x)' = (2\cos^2 x - 1)'. 由求导法则得 (−sin⁡2x)⋅2=4cos⁡x⋅(−sin⁡x)(- \sin 2x)\cdot 2 = 4\cos x \cdot (-\sin x)，化简得等式 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.
(1) 利用上述想法（或者其他方法），试由等式 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn(1 + x)^n = \mathrm C_n^0 + \mathrm C_n^1x + \mathrm C_n^2x^2 + \cdots + \mathrm C_n^n x^n（x∈Rx \in \mathbf{R}，整数 n⩾2n \geqslant 2）证明：n[(1+x)n−1−1]=∑k=2nkCnkxk−1n\left[(1 + x)^{n-1} - 1\right] = \sum_{k=2}^{n} k \mathrm C_n^k x^{k-1}； (2) 对于正整数 n⩾3n \geqslant 3，求证：
(i) ∑k=1n(−1)kkCnk=0\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k \mathrm C_n^k = 0； (ii) ∑k=1n(−1)kk2Cnk=0\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 \mathrm C_n^k = 0； (iii) ∑k=0n1k+1Cnk=2n+1−1n+1\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} \mathrm C_n^k = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.

2008 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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