真题题库 | 数迹

12计数原理与组合数学★★☆☆☆

已知多项式

(x+2)(x-1)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5

a_2=

______，

a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=

______.

2022 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

13计数原理与组合数学★★☆☆☆

已知

(x-1)^3+(x+1)^4=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4

a_1=\underline{\hspace{2em}}

a_2+a_3+a_4=\underline{\hspace{2em}}

2021 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

12计数原理与组合数学★★☆☆☆

设

(1+2x)^5=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6x^5

a_5=\underline{\hspace{2em}}

；

a_1+a_2+a_3=\underline{\hspace{2em}}

2020 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

的展开式中，常数项是______；系数为有理数的项的个数是______.

13计数原理与组合数学★★☆☆☆

在二项式

(\sqrt2+x)^9

2019 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

14计数原理与组合数学★★☆☆☆

二项式

\left(\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{2x}\right)^8

的展开式的常数项是______.

2018 · 浙江 · 第 14 题 · 填空题

16计数原理与组合数学★★★☆☆

从

1

3

5

7

9

中任取

2

个数字，从

0

2

4

个数字，一共可以组成______ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

6

中任取

2

2018 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

13计数原理与组合数学★☆☆☆☆

已知多项式

(x+1)^3(x+2)^2=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5

a_4=\underline{\hspace{2em}}

a_5=\underline{\hspace{2em}}

2017 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

16计数原理与组合数学★★★☆☆

从

6

男

2

女共

8

名学生中选出队长

1

人，副队长

1

人，普通队员

2

人组成

4

人服务队，要求服务队中至少有

1

名女生，共有______ 种不同的选法.

2017 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

在 8 张奖券中有一，二，三等奖各 1 张，其余 5 张无奖. 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有______种（用数字作答）.

14计数原理与组合数学★★★☆☆

2014 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

11计数原理与组合数学★★☆☆☆

设二项式

\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^5

的展开式中常数项为

A

A =

______.

2013 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

14计数原理与组合数学★★★☆☆

将

A

B

C

D

E

F

六个字母排成一排，且

A

的同侧，则不同的排法共有______ 种. （用数字作答）

B

均在

C

2013 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

12概率与统计★☆☆☆☆

从

3

男

3

女共

6

名同学中任选

2

名（每名同学被选中的机会均等）. 这

2

名都是女同学的概率等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______.

12计数原理与组合数学★★☆☆☆

2012 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

14计数原理与组合数学★★★☆☆

若将函数

f(x) = x^5

表示为

f(x) = a_0 + a_1(1 + x) + a_2(1 + x)^2 + \cdots + a_5(1 + x)^5

，其中

a_0

a_1

a_2

\cdots

a_5

为实数，则

a_3 =

______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为

12概率与统计★☆☆☆☆

从边长为

1

\frac{\sqrt{2}}{2}

的概率是______.

2012 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

13计数原理与组合数学★★★☆☆

设二项式

\left(x - \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^6

（

a > 0

）的展开式中

x^3

的系数为

A

，常数项为

B

. 若

B = 4A

a

的值是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

14计数原理与组合数学★★★★☆

设

n \geqslant 2

n \in \mathbf{N}

\left(2x + \frac{1}{2}\right)^n - \left(3x + \frac{1}{3}\right)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n

，将

|a_k|

（

0 \leqslant k \leqslant n

）的最小值记为

T_n

T_2 = 0

T_3 = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3}

T_4 = 0

T_5 = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{3^5}

\cdots

T_n

\cdots

，其中

T_n =

______. \begin{answer}

\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}, & n\text{为奇数} \end{cases}

\end{answer}

\begin{solution} 由二项式定理，

x^k

的系数为

a_k=\mathrm C_n^k\left(2^{2k-n}-3^{2k-n}\right)

若

n

为偶数，取

k=\frac n2

a_k=\mathrm C_n^{\frac{n}{2}}(1-1)=0

，故

T_n=0

若

n

为奇数，当

0\leqslant k\leqslant\frac{n-1}{2}

时，令

r=n-2k

1\leqslant r\leqslant n

，并且

|a_k|=\mathrm C_n^k\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right)

并且

\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right) -\left(\frac1{2^{r+1}}-\frac1{3^{r+1}}\right) =\frac1{2^{r+1}}-\frac2{3^{r+1}}>0

（

r\geqslant1

），所以数列

\frac1{2^r}-\frac1{3^r}

随正整数

r

增大而减小，其值不小于

\frac1{2^n}-\frac1{3^n}

，再乘以

\mathrm C_n^k\geqslant1

后仍不小于该值.

当

\frac{n+1}{2}\leqslant k\leqslant n

时，令

r=2k-n\geqslant1

|a_k|=\mathrm C_n^k(3^r-2^r)\geqslant1>\frac1{2^n}-\frac1{3^n}

而

k=0

时恰好有

|a_0|=\frac1{2^n}-\frac1{3^n}

. 因此

T_n=\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac1{2^n}-\dfrac1{3^n}, & n\text{为奇数}. \end{cases}

\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试. 每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有______ 种. \begin{answer} 264 \end{answer}

17计数原理与组合数学★★★★☆

\begin{solution} 上午固定测试除“握力”外的四个项目，先把四位有区别的同学安排到上午，方法数为

4!

. 固定一种上午安排，记上午测试“台阶”的同学为甲，另外三位同学的上午项目分别为三个公共项目.

下午测试三个公共项目和“握力”，且不能与本人上午项目重复. 若“握力”安排给甲，则三个公共项目需避开三位同学各自的项目，安排数为三阶错排数

!3=2

. 若“握力”安排给另外三位同学中的一位，有

3

种选法；剩下的三人分配三个公共项目，其中两人各有一个禁用项目，容斥计数为

3!-2\cdot2!+1!=3

所以固定上午安排时，下午有

2+3\times3=11

种安排. 总安排数为

4!\times11=264

故填

264

. \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

15计数原理与组合数学★★★☆☆

观察下列等式：

\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^5 = 2^3-2

\mathrm C_9^1+\mathrm C_9^5+\mathrm C_9^9 = 2^7+2^3

\mathrm C_{13}^1+\mathrm C_{13}^5+\mathrm C_{13}^9+\mathrm C_{13}^{13} = 2^{11}-2^5

\mathrm C_{17}^1+\mathrm C_{17}^5+\mathrm C_{17}^9+\mathrm C_{17}^{13}+\mathrm C_{17}^{17} = 2^{15}+2^7

……

由以上等式推测到一个一般的结论：对于

n\in\mathbf{N}^*

\mathrm C_{4n+1}^1+\mathrm C_{4n+1}^5+\mathrm C_{4n+1}^9+\cdots+\mathrm C_{4n+1}^{4n+1}=\underline{\hspace{2em}}

2009 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______.

16计数原理与组合数学★★★☆☆

甲，乙，丙

3

人站到共有

7

级的台阶上，若每级台阶最多站

2

2009 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数

17概率与统计★★★☆☆

k

k + 1

，其中

k = 0

1

2

\cdots

. 从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9, 10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为

19

9 + 1 + 0 = 10

）不小于 14”为

A

P(A)

=______.

2009 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

16计数原理与组合数学★★★☆☆

用

1

2

3

4

5

组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且

6

1

和

2

相邻，这样的六位数的个数是______. （用数字作答）

2008 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

17计数原理与组合数学★★★★☆

用

1

2

3

4

5

组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且

6

1

和

2

相邻，这样的六位数的个数是______. （用数字作答）

2008 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

钱刚好用完），则不同买法的种数是______.（用数字作答） \begin{answer}

14计数原理与组合数学★★★☆☆

某书店有

11

种杂志，

2\text{ 元}

1\text{ 本}

的

8

种，

1\text{ 元}

1\text{ 本}

的

3

种. 小张用

10\text{ 元}

钱买杂志（每种至多买一本，

10\text{ 元}

266

\end{answer}

\begin{solution} 设购买

2\text{ 元}

杂志

i

种，购买

1\text{ 元}

杂志

j

种，则

2i+j=10

0\leqslant i\leqslant8

0\leqslant j\leqslant3

. 所以只有

(i,j)=(5,0)

或

(4,2)

两种数量组合. 相应买法数为

\mathrm C_8^5\mathrm C_3^0+\mathrm C_8^4\mathrm C_3^2=56+70\times3=266

故不同买法的种数为

266

. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题