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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)P(x,y) 的坐标 xx，yy 均为整数，则称点 PP 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 SS，其内部的格点数记为 NN，边界上的格点数记为 LL. 例如图中 △ABC\triangle ABC 是格点三角形，对应的 S=1S=1，N=0N=0，L=4L=4.
(1) 图中格点四边形 DEFGDEFG 对应的 SS，NN，LL 分别是______； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+cS=aN+bL+c，其中 aa，bb，cc 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71N=71，L=18L=18，则 S=S=______. （用数值作答）

2013 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 2222，121121，34433443，9424994249 等. 显然 22 位回文数有 99 个：1111，2222，3333，…，9999；33 位回文数有 9090 个：101101，111111，121121，…，191191，202202，…，999999.
(1) 4 位回文数有______ 个； (2) 2n+12n+1（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）位回文数有______ 个.

2012 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x-\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______.（结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______.（结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
给 nn 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n⩽4n\leqslant4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当 n=6n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______ 种.（结果用数值表示） {}

2011 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______. （结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______. （结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+34y)20(x + \sqrt[4]{3} y)^{20} 的展开式中，系数为有理数的项共有______ 项.

2010 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1−x2)10(1 - x^{2})^{10} 的展开中，x4x^{4} 的系数为______.

2010 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知 (1+ax)5=1+10x+bx2+⋯+a5x5(1 + ax)^{5} = 1 + 10x + bx^{2} + \cdots + a^{5}x^{5}，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程队有 66 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行. 那么安排这 66 项工程的不同排法种数是______. （用数字作答）

2006 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
将杨辉三角中的每一个数 Cnr\mathrm{C}_n^r 都换成分数 1(n+1)Cnr\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^r}，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.
\begin{array}{c} &&&&&&$\displaystyle\frac{1}{1}$&&&&&&\\ &&&&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&&&&\\ &&&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&&&\\ &&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&&\\ &&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&\\ &$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&\\ $\displaystyle\frac{1}{7}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{140}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{7}$\\ \multicolumn{13}{c}{$\cdots\cdots$} \end{array}
从莱布尼茨三角形可看出 1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnx=1nCn−1r\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{r}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{x}} = \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{r}}，其中 x=x =______，令 an=13+112+⋯+1nCn−12+1(n+1)Cn2a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{2}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{2}}，则 lim⁡n→∞an=\lim\limits_{n\to \infty} a_n =______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
安排 55 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是______.（用数字作答）

2006 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
(x2+1x+2)5\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5 的展开式中整理后的常数项为______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3−2x)4+(x+1x)8\left(x^{3} - \frac{2}{x}\right)^{4} + \left(x + \frac{1}{x}\right)^{8} 的展开式中整理后的常数项等于______.

2005 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
将标号为 11，22，⋯\cdots，1010 的 1010 个球放入标号为 11，22，⋯\cdots，1010 的 1010 个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有 33 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______ 种. （以数字作答）

2004 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x12+x−12)n\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)^n 的展开式中各项系数的和是 128，则展开式中 x5x^5 的系数是______. （以数字作答）

2004 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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