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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)6\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答）

2012 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★★
设 N=2nN=2^n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n⩾2n\geqslant2），将 NN 个数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xNx_N 依次放入编号为 11，22，⋯\cdots，NN 的 NN 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯xNP_0=x_1x_2\cdots x_N. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 N2\frac{N}{2} 和后 N2\frac{N}{2} 个位置，得到排列 P1=x1x3⋯xN−1x2x4⋯xNP_1=x_1x_3\cdots x_{N-1}x_2x_4\cdots x_N，将此操作称为 CC 变换. 将 P1P_1 分成两段，每段 N2\frac{N}{2} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 P2P_2；当 2⩽i⩽n−22\leqslant i\leqslant n-2 时，将 PiP_i 分成 2i2^i 段，每段 N2i\frac{N}{2^i} 个数，并对每段作 CC 变换，得到 Pi+1P_{i+1}. 例如，当 N=8N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8P_2=x_1x_5x_3x_7x_2x_6x_4x_8，此时 x7x_7 位于 P2P_2 中的第 44 个位置.
(1) 当 N=16N=16 时，x7x_7 位于 P2P_2 中的第______个位置； (2) 当 N=2nN=2^n（n⩾8n\geqslant8）时，x173x_{173} 位于 P4P_4 中的第______个位置.

2012 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 29∘C∼63∘C29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}，精确度要求 ±1∘C\pm 1^{\circ} \mathrm{C}. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
给定 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，设函数 f:N∗→N∗f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^* 满足：对于任意大于 kk 的正整数 nn，f(n)=n−kf(n) = n - k.
(1) 设 k=1k = 1，则其中一个函数 ff 在 n=1n = 1 处的函数值为______； (2) 设 k=4k = 4，且当 n⩽4n \leqslant 4 时，2⩽f(n)⩽32 \leqslant f(n) \leqslant 3，则不同的函数 ff 的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知一种材料的最佳加入量在 100 g100 \mathrm{~g} 到 200 g200 \mathrm{~g} 之间. 若用 0.6180.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是______ g\mathrm{g}.

2010 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
若规定 E={a1,a2,…,a10}E = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}\} 的子集 {ai1,ai2,…,ain}\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}\} 为 EE 的第 kk 个子集，其中 k=2i1−1+2i2−1+2i3−1+⋯+2in−1k = 2^{i_{1} - 1} + 2^{i_{2} - 1} + 2^{i_{3} - 1} + \dots + 2^{i_{n} - 1}，则
(1) {a1,a3}\{a_1, a_3\} 是 EE 的第______ 个子集； (2) EE 的第211个子集是______.

2010 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)3+(1+x)3+(1+x3)3(1 + x)^{3} + (1 + \sqrt{x})^{3} + (1 + \sqrt[3]{x})^{3} 的展开式中，xx 的系数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1+x)4(1 + \sqrt{x})^4 的展开式中，xx 的系数为______. （用数字作答）

2009 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
记 (2x+1x)n\left(2x + \frac{1}{x}\right)^{n} 的展开式中第 mm 项的系数为 bmb_{m}，若 b3=2b4b_{3} = 2b_{4}，则 n=n =______.
\begin{solution} 展开式的第 r+1r+1 项为
Cnr(2x)n−r(1x)r=Cnr2n−rxn−2r\mathrm C_n^r(2x)^{n-r}\left(\frac1x\right)^r =\mathrm C_n^r2^{n-r}x^{n-2r}
因此 b3=Cn22n−2b_3=\mathrm C_n^2 2^{n-2}，b4=Cn32n−3b_4=\mathrm C_n^3 2^{n-3}. 由 b3=2b4b_3=2b_4 得
Cn22n−2=2Cn32n−3  ⟺  Cn2=Cn3\mathrm C_n^2 2^{n-2}=2\mathrm C_n^3 2^{n-3} \iff \mathrm C_n^2=\mathrm C_n^3
于是
n(n−1)2=n(n−1)(n−2)6\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6
从而 n−2=3n-2=3，即 n=5n=5. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
将杨辉三角中的奇数换成 11，偶数换成 00，得到如图所示的 00-11 三角数表. 从上往下数，第 11 次全行的数都为 11 的是第 11 行，第 22 次全行的数都为 11 的是第 33 行，…，第 nn 次全行的数都为 11 的是第______ 行；第 6161 行中 11 的个数是______.
| 第 11 行 | 11 | 11 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第 22 行 | 11 | 00 | 11 | | 第 33 行 | 11 | 11 | 11 | 11 | | 第 44 行 | 11 | 00 | 00 | 00 | 11 | | 第 55 行 | 11 | 11 | 00 | 00 | 11 | 11 |

2007 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax−1)5(ax - 1)^5 的展开式中 x3x^3 的系数是 −80-80，则实数 aa 的值是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6(1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 3535 \end{answer}
\begin{solution} 在 (1+x)k(1+x)^k 中，x2x^2 的系数为 Ck2\mathrm C_k^2，所以所求系数为
∑k=26Ck2=C73=35\sum_{k=2}^{6}\mathrm C_k^2=\mathrm C_7^3=35
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6(1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数是______. （用数字作答）

2005 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (x3+1xx)n\left(x^{3}+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^n 展开式中的常数项为 84，则 n=n=______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)9\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{9} 的展开式中的常数项为______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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