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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2)5(x + 2)^{5} 的展开式中，x2x^{2} 的系数等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
一个二元码是由 00 和 11 组成的数字串 x1x2⋯xnx_{1}x_{2}\cdots x_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），其中 xkx_{k}（k=1k=1，22，…\dots，nn）称为第 kk 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 00 变为 11，或者由 11 变为 00）. 已知某种二元码 x1x2⋯x7x_{1}x_{2}\cdots x_{7} 的码元满足如下校验方程组：
{x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,\begin{cases} x_{4}\oplus x_{5}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{2}\oplus x_{3}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{1}\oplus x_{3}\oplus x_{5}\oplus x_{7}=0, \end{cases}
，其中运算 ⊕\oplus 定义为：0⊕0=00\oplus 0=0，0⊕1=10\oplus 1=1，1⊕0=11\oplus 0=1，1⊕1=01\oplus 1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 kk 位发生码元错误后变成了 11011011101101，那么利用上述校验方程组可判定 kk 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 {a,b,c,d}={1,2,3,4}\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}，且下列四个关系：
① a=1a = 1； ② b≠1b \neq 1； ③ c=2c = 2； ④ d≠4d \neq 4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)(a, b, c, d) 的个数是______.

2014 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(a+x)4(a + x)^{4} 的展开式中 x3x^{3} 的系数等于 88，则实数 a=a =______.

2012 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案；方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用；要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小；例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图 1，则最优设计方案如图 2；此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为______.

2012 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x−2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(x - 2)^{5} = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}，则 a1+a2+a3+a4+a5=‾a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 31 \end{answer} \begin{solution} 由二项式展开式
(x−2)5=x5−10x4+40x3−80x2+80x−32(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32
可得 a5=1a_5=1，a4=−10a_4=-10，a3=40a_3=40，a2=−80a_2=-80，a1=80a_1=80. 因而
a1+a2+a3+a4+a5=80−80+40−10+1=31a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=80-80+40-10+1=31
\end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)9\left(x + \frac{1}{x}\right)^9 展开式中 x2x^2 的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 按二项式定理，展开式的第 k+1k+1 项为 C9kx9−k(1x)k=C9kx9−2k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(\frac1x\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-2k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 指数 9−2k9-2k 始终为奇数，不可能等于 2，所以展开式中没有 x2x^2 项，其系数为 00. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)6\left( x^2 + \frac{1}{x} \right)^6 的展开式中常数项是______. （用数字作答）

2007 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−1x)5\left(x^{2} - \frac{1}{x}\right)^{5} 展开式中 x4x^{4} 的系数是______（用数字作答）.

2006 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−1x)5\left(x^{2} - \frac{1}{x}\right)^{5} 展开式中 x4x^{4} 的系数是______.（用数字作答）

2006 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)6\left(2\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right)^6 展开式中的常数项是______. （用数字作答）

2005 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)6\left(2\sqrt{x} -\frac{1}{x}\right)^6 展开式中的常数项是______.

2005 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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