根据世行 $2013$ 年新标准，人均 $\mathrm{GDP}$ 低于 $1035\ \text{美元}$ 为低收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $1035\text{—}4085\ \text{美元}$ 为中等偏下收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $4085\text{—}12616\ \text{美元}$ 为中等偏上收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 不低于 $12616\ \text{美元}$ 为高收入国家. 某城市有 $5$ 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 $\mathrm{GDP}$ 如下表：

(1) 判断该城市人均 $\mathrm{GDP}$ 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，求抽到的 $2$ 个行政区人均 $\mathrm{GDP}$ 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 $1$，按各行政区人口比例加权，城市人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $0.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400$ 美元. 因为 $4085\leqslant6400<12616$，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 $3$ 个. 从 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，基本事件总数为 $\mathrm C_5^2=10$，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 $2$ 个，即 $\mathrm C_3^2=3$. 因此所求概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}$. \end{enumerate} \end{solution}

从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1) 记性质 $r$：集合中的所有元素之和为 $10$，求所取出的非空子集满足性质 $r$ 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E_{\xi}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有$2^5-1=31$个，且每个被取出的可能性相同.元素和为$10$的非空子集为 $\{1,4,5\}$、$\{2,3,5\}$、$\{1,2,3,4\}$，共$3$个，所以$P(r)=\dfrac{3}{31}$.

\item 记所取子集的元素个数为$\xi$.当$\xi=k$时，从$5$个元素中选出$k$个，共有$\mathrm C_5^k$种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$\ \hline $P$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{1}{31}$ \end{tabular} \end{center} 并且 \end{enumerate} \end{solution}

甲，乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 $10$ 道试题中，甲能答对其中的 $6$ 题，乙能答对其中的 $8$ 题. 规定每次考试都从备选题中随机抽出 $3$ 题进行测试，至少答对 $2$ 题才算合格.

(1) 求甲，乙两人考试合格的概率； (2) 求甲，乙两人至少有一人考试合格的概率.