甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

现有 $6$ 道题，其中 $4$ 道甲类题，$2$ 道乙类题，张同学从中任取 $2$ 道题解答. 试求：

(1) 所取的 $2$ 道题都是甲类题的概率； (2) 所取的 $2$ 道题不是同一类题的概率.

已知 $f_{0}(x) = x^{n}$，$f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}$，其中 $k \leqslant n$（$n$，$k\in\mathbf{N}_{+}$）. 设 $F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})$，$x \in [-1,1]$.

(1) 写出 $f_k(1)$； (2) 证明：对任意的 $x_{1}$，$x_{2}\in[-1,1]$，恒有 $|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1$.