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共找到 33 题
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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分概率与统计★★☆☆☆
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 6060 名学生. 已知该校初中部和高中部分别有 400400 名和 200200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.
(40045)(20015)\dbinom{400}{45}\dbinom{200}{15} 种
B.
(40020)(20040)\dbinom{400}{20}\dbinom{200}{40} 种
C.
(40030)(20030)\dbinom{400}{30}\dbinom{200}{30} 种
D.
(40040)(20020)\dbinom{400}{40}\dbinom{200}{20} 种

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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055分计数原理与组合数学★★☆☆☆
有甲，乙，丙，丁，戊 55 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A.
1212 种
B.
2424 种
C.
3636 种
D.
4848 种

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，将钢琴上的 1212 个键依次记为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12}. 设 1≤i<j<k≤121\le i<j<k\le 12. 若 k−j=3k-j=3 且 j−i=4j-i=4，则 aia_i，aja_j，aka_k 为原位大三和弦；若 k−j=4k-j=4 且 j−i=3j-i=3，则称 aia_i，aja_j，aka_k 为原位小三和弦. 用这 1212 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A.
55
B.
88
C.
1010
D.
1515

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 k=0k=0，a=0a=0，则输出的 kk 为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）.
A.
0.60.6
B.
0.50.5
C.
0.40.4
D.
0.30.3

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.
7272
B.
120120
C.
144144
D.
168168

2014 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+12x)8\left(\sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^8 的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 Tr+1=C8r(x)8−r(12x)r=C8r2−rx4−rT_{r+1}=\mathrm C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8-r}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{r} =\mathrm C_{8}^{r}2^{-r}x^{4-r}，r=0r=0，11，…\ldots，88 常数项要求 4−r=04-r=0，所以 r=4r=4. 因此常数项为
C842−4=7016=358\mathrm C_{8}^{4}2^{-4}=\frac{70}{16}=\frac{35}{8}
故选 B. \end{solution}
A.
3516\frac{35}{16}
B.
358\frac{35}{8}
C.
354\frac{35}{4}
D.
105105

2012 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1−3x)5(1-3x)^5 的展开式中 x3x^3 的系数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开的通项为 C5k(1)5−k(−3x)k\mathrm C_5^k(1)^{5-k}(-3x)^k. 含 x3x^3 的项对应 k=3k=3，其系数为 C53(−3)3=10×(−27)=−270\mathrm C_5^3(-3)^3=10\times(-27)=-270，故选 A. \end{solution}
A.
−270-270
B.
−90-90
C.
9090
D.
270270

2012 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+3x)n(1 + 3x)^{n} （其中 n∈Nn\in \mathbf{N} 且 n⩾6n\geqslant 6 ）的展开式中 x5x^{5} 与 x6x^{6} 的系数相等，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式中 x5x^5 的系数为 Cn535\mathrm C_n^5 3^5，x6x^6 的系数为 Cn636\mathrm C_n^6 3^6. 由题设，得 Cn535=Cn636\mathrm C_n^5 3^5=\mathrm C_n^6 3^6，即 1=3Cn6Cn5=3⋅n−561=3\dfrac{\mathrm C_n^6}{\mathrm C_n^5}=3\cdot\dfrac{n-5}{6}. 因而 n=7n=7，故选 B. \end{solution}
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2011 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 先把甲、乙看作一个整体. 甲、乙相邻时，这个整体在 7 个位置中有 6 种放法，甲、乙在整体内还有 2 种次序，因此不考虑其他限制时共有 6!⋅26!\cdot2 种安排.
其中丙排在 10 月 1 日时，甲、乙整体只能放在第 2 至第 7 天中相邻的位置，共有 5 种放法，故有 5⋅2⋅4!5\cdot2\cdot4! 种安排. 类似地，丁排在 10 月 7 日时也有 5⋅2⋅4!5\cdot2\cdot4! 种安排.
丙排在 10 月 1 日且丁排在 10 月 7 日时，甲、乙整体在第 2 至第 6 天中有 4 种相邻放法，故有 4⋅2⋅3!4\cdot2\cdot3! 种安排. 由容斥原理，不同的安排方案数为
6!⋅2−2⋅5⋅2⋅4!+4⋅2⋅3!=1440−480+48=10086!\cdot2-2\cdot5\cdot2\cdot4!+4\cdot2\cdot3!=1440-480+48=1008
故选 C. \end{solution}
A.
504504 种
B.
960960 种
C.
10081008 种
D.
11081108 种

2010 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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01计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+1)4(x + 1)^{4} 的展开式中 x2x^{2} 的系数为（ ）
A.
44
B.
66
C.
1010
D.
2020

2010 · 重庆 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天. 若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有（ ）
A.
30 种30\text{ 种}
B.
36 种36\text{ 种}
C.
42 种42\text{ 种}
D.
48 种48\text{ 种}

2010 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+2x)8\left(x^{2} + \frac{2}{x}\right)^{8} 的展开式中 x4x^{4} 的系数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为从 8 个因式中选 kk 个取 2x\frac{2}{x}，其余取 x2x^{2}，即
C8k(x2)8−k(2x)k=C8k2kx16−3k\mathrm C_{8}^{k}(x^{2})^{8-k}\left(\frac{2}{x}\right)^{k} =\mathrm C_{8}^{k}2^{k}x^{16-3k}
要得到 x4x^{4}，必须有 16−3k=416-3k=4，故 k=4k=4. 所求系数为
C8424=70×16=1120\mathrm C_{8}^{4}2^{4}=70\times16=1120
因此选 D. \end{solution}
A.
16
B.
70
C.
560
D.
1120

2009 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06概率与统计★★★☆☆
锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同. 从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 4 个汤圆从 15 个中任取，样本数为 C154\mathrm C_{15}^{4}. 每种馅至少取到 1 个时，取法只能是数量分配 (2,1,1)(2,1,1). 因而有利取法数为
C62C51C41+C61C52C41+C61C51C42=300+240+180=720\mathrm C_{6}^{2}\mathrm C_{5}^{1}\mathrm C_{4}^{1} +\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{5}^{2}\mathrm C_{4}^{1} +\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{5}^{1}\mathrm C_{4}^{2} =300+240+180=720
所求概率为
720C154=7201365=4891\frac{720}{\mathrm C_{15}^{4}}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}
故选 C. \end{solution}
A.
891\frac{8}{91}
B.
2591\frac{25}{91}
C.
4891\frac{48}{91}
D.
6091\frac{60}{91}

2009 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2)6(x + 2)^{6} 的展开式中 x3x^{3} 的系数是（ ）
A.
2020
B.
4040
C.
8080
D.
160160

2009 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
1212 个篮球队中有 33 个强队，将这 1212 个队伍任意分成 33 个组（每组 44 个队），则 33 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A.
155\frac{1}{55}
B.
355\frac{3}{55}
C.
14\frac{1}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2009 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从编号为 11，22，…\ldots，1010 的 1010 个大小相同的球中任取 44 个，则所取 44 个球的最大号码是 66 的概率为（ ）
A.
184\frac{1}{84}
B.
121\frac{1}{21}
C.
25\frac{2}{5}
D.
35\frac{3}{5}

2008 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (x+12x)n\left(x+\frac{1}{2x}\right)^{n} 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4x^{4} 项的系数为（ ）
A.
66
B.
77
C.
88
D.
99

2008 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+1x)n\left(x + \frac{1}{x}\right)^n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
120120

2007 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 55 张 100 元100\text{ 元}，33 张 200 元200\text{ 元}，22 张 300 元300\text{ 元}的奥运预赛门票中任取 33 张，则所取 33 张中至少有 22 张价格相同的概率为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
79120\frac{79}{120}
C.
34\frac{3}{4}
D.
2324\frac{23}{24}

2007 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(2x−1)6(2x - 1)^{6} 展开式中 x2x^{2} 的系数为（\quad）
A.
1515
B.
6060
C.
120120
D.
240240

2007 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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