甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值； (2) 分别求出成绩落在 $[50,60)$ 与 $[60,70)$ 中的学生人数； (3) 从成绩在 $[50,70)$ 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 $[60,70)$ 中的概率.

某市公租房的房源位于 $A$，$B$，$C$ 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 $4$ 位申请人中：

(1) 没有人申请 $A$ 片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率.

在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 $1$，$2$，$\ldots$，$6$），求：

(1) 甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； (2) 甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.