甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

已知各项全不为零的数列 $\{a_{k}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k}$，且 $S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1}$（$k \in \mathbf{N}^*$），其中 $a_{1} = 1$.

(1) 求数列 $\{a_{k}\}$ 的通项公式； (2) 对任意给定的正整数 $n$（$n \geqslant 2$），数列 $\{b_k\}$ 满足 $\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k-n}{a_{k+1}}$ （$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n-1$），$b_1 = 1$. 求 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n$.