设 $(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，其中 $n\ge 4$，$n\in\mathbf{N}^*$. 已知 $a_3^2=2a_2a_4$.

(1) 求 $n$ 的值； (2) 设 $(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3$，其中 $a$，$b\in\mathbf{N}^*$，求 $a^2-3b^2$ 的值.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点集 $A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}$，$B_n=\{(0,1),(n,1)\}$，$C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}$，$n\in\mathbf{N}^*$. 令 $M_n=A_n\cup B_n\cup C_n$. 从集合 $M_n$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离.

(1) 当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布； (2) 对给定的正整数 $n$（$n\ge 3$），求概率 $P(X\le n)$（用 $n$ 表示）.