已知集合 .

给定数列 $A:a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_8$，和序列 $\Omega:T_1$，$T_2$，$\cdots$，$T_s$，其中 $T_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M$（$t=1$，$2$，$\cdots$，$s$）. 对数列 $A$ 进行如下变换：将 $A$ 的第 $i_1$，$j_1$，$k_1$，$w_1$ 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 $T_1(A)$；将 $T_1(A)$ 的第 $i_2$，$j_2$，$k_2$，$w_2$ 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 $T_2T_1(A)$；……；以此类推，得到 $T_s\cdots T_2T_1(A)$，简记为 $\Omega(A)$.

(1) 给定数列 $A:1$，$3$，$2$，$4$，$6$，$3$，$1$，$9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7)$，$(2,4,6,8)$，$(1,3,5,7)$，写出 $\Omega(A)$； (2) 是否存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_1+2$，$a_2+6$，$a_3+4$，$a_4+2$，$a_5+8$，$a_6+2$，$a_7+4$，$a_8+4$？若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数，求证：“存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 的各项都相等”的充要条件为“$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$”.