已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, $M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}$。从 $M$ 中选取 $n$ 个不同的元素组成一个序列: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$, 其中 $(x_i, y_i)$ 称为该序列的第 $i$ 项 ($i = 1, 2, \cdots, n$), 若该序列的相邻项 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$ 满足 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases}$ ($i = 1, 2, \cdots, n-1$), 则称该序列为 $K$ 列。

(1) 对于第 $1$ 项为 $(3, 3)$ 的 $K$ 列, 写出它的第 $2$ 项;

(2) 设 $\Gamma$ 为 $K$ 列, 且 $\Gamma$ 中的项 $(x_i, y_i)$ ($i = 1, 2, \cdots, n$) 满足: 当 $i$ 为奇数时, $x_i \in \{1, 2, 7, 8\}$; 当 $i$ 为偶数时, $x_i \in \{3, 4, 5, 6\}$, 判断 $(3, 2)$, $(4, 4)$ 能否同时为 $\Gamma$ 中的项, 并说明理由;

(3) 证明: 由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 $K$ 列。

在如图的 $4 \times 4$ 的方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有______种选法. 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.

现有 $5$ 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 $5$ 人中安排 $2$ 人参加公益活动，则恰有 $1$ 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）