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15复数★★☆☆☆
设复数 z1z_1，z2z_2 满足 ∣z1∣=∣z2∣=2|z_1|=|z_2|=2，z1+z2=3+iz_1+z_2=\sqrt3+\mathrm{i}，则 ∣z1−z2∣=|z_1-z_2|=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
设复数 a+bia + b\mathrm{i} （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）的模为 3\sqrt{3}，则 (a+bi)(a−bi)=(a + b\mathrm{i})(a - b\mathrm{i}) =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 复数的模满足 ∣a+bi∣2=(a+bi)(a−bi)\left|a+b\mathrm{i}\right|^2=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i}). 已知 ∣a+bi∣=3\left|a+b\mathrm{i}\right|=\sqrt3，所以
(a+bi)(a−bi)=∣a+bi∣2=3(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=\left|a+b\mathrm{i}\right|^2=3
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
复数 (1+2i)i(1 + 2\mathrm{i})\mathrm{i} 的实部为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
已知复数 z=5i1+2iz = \frac{5\mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣=|z| =______.
\begin{answer} 5\sqrt{5} \end{answer}
\begin{solution} 利用复数模的乘除法性质，
∣z∣=∣5i∣∣1+2i∣=512+22=55=5|z|=\frac{|5\mathrm{i}|}{|1+2\mathrm{i}|}=\frac{5}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
设复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i} （i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣=‾|z| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 5\sqrt{5} \end{answer} \begin{solution} 复数的模为实部与虚部平方和的平方根，因此
∣z∣=∣1+2i∣=12+22=5|z|=|1+2\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
若 (1+i)(2+i)=a+bi(1 + i)(2 + i) = a + bi，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，ii 为虚数单位，则 a+b=a + b =______.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution}
(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^{2}=1+3i
所以 a=1a=1，b=3b=3，从而 a+b=4a+b=4. \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，则 2z−z=‾\frac{2}{z} - z =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2i-2\mathrm{i} \end{answer}
\begin{solution} 因为 2z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i\frac{2}{z}=\frac{2}{1+\mathrm{i}}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=1-\mathrm{i}，所以 2z−z=(1−i)−(1+i)=−2i\frac{2}{z}-z=(1-\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})=-2\mathrm{i}. \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
复数 2i2+i3\frac{2\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}^{3}} 的虚部为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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11复数★☆☆☆☆
复数 1+2i3+i3\frac{1 + 2\mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}^3} 的值是______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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