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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1，点 PP 在 Γ\Gamma 上，F1F_1，F2F_2 分别为双曲线的左，右焦点.
(1) 求点 (2,0)\left( 2,0 \right) 到 Γ\Gamma 渐近线的距离； (2) 若 PF1→⋅PF2→=1\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1，求 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积； (3) 记 Ω\Omega 为双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 中满足 （x>0x>0， y≥−1\ y\ge -1） 或 （x<0x<0， y≤−1\ y\le -1） 的部分. 过点 F2F_2 的直线 ll 交 Ω\Omega 于 PP，QQ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 F2F_2 的直线 mm 交 Ω\Omega 于 MM，NN 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 λ\lambda，使得对任意直线 ll，都存在唯一对应的直线 mm 满足 λ∣PQ∣=∣MN∣\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2026 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(1)=0f(1)=0，求不等式 f(x)≤x2−1f(x)\le x^2-1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上存在极大值，求 mm 的取值范围.

2025 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

2024 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★★☆
某公园欲建设一段斜坡，斜坡面是一平面，坡面与水平地面所成角为 θ\theta，坡顶距离水平地面的垂直高度为 44 米，游客从坡底沿着斜坡面向上直行，每走 11 米消耗的体力为 1.025−cos⁡θ1.025-\cos\theta，当 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}} 时，游客走斜坡所消耗的总体力最小.

2023 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1xf(x) = ax^2 + \frac{1}{x}，其中 aa 为常数.
(1) 根据 aa 的不同取值，判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 a∈(1,3)a \in (1,3)，判断函数 f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 上的单调性，并说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 x 千克/小时x\text{ 千克/小时} 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101 \leqslant x \leqslant 10），每一小时可获得的利润是 100(5x+1−3x) 元100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}.
(1) 求证：生产 a 千克a\text{ 千克} 该产品所获得的利润为 100a(5+1x−3x2) 元100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}； (2) 要使生产 900 千克900\text{ 千克} 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 a 千克a\text{ 千克} 产品需要 ax\frac{a}{x} 小时，所以所获得的利润为
ax×100(5x+1−3x)=100a(5+1x−3x2) 元\frac{a}{x}\times100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}
\item 当生产 900 千克900\text{ 千克} 产品时，利润函数为 P(x)=90000(5+1x−3x2)P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)，1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant10. 其导数为
P′(x)=90000(−1x2+6x3)=90000(6−x)x3P'(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}
由于 x>0x>0，当 1⩽x<61\leqslant x<6 时 P′(x)>0P'(x)>0，当 6<x⩽106<x\leqslant10 时 P′(x)<0P'(x)<0，所以 P(x)P(x) 在 [1,6][1,6] 上递增，在 [6,10][6,10] 上递减，最大值在 x=6x=6 时取得. 最大利润为
P(6)=90000(5+16−336)=90000×6112=457500 元P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\times\frac{61}{12}=457500\text{ 元}
因此甲厂应选择 6 千克/小时6\text{ 千克/小时} 的生产速度，最大利润为 457500 元457500\text{ 元}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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11不等式★★★★☆
当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，不等式 sin⁡πx2⩾kx\sin \frac{\pi x}{2} \geqslant kx 成立. 则实数 kk 的取值范围是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★★
将函数 y=4+6x−x2−2y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2（x∈[0,6]x \in [0, 6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ\theta（0⩽θ⩽α0 \leqslant \theta \leqslant \alpha），得到曲线 CC. 若对于每一个旋转角 θ\theta，曲线 CC 都是一个函数的图象，则 α\alpha 的最大值为______.

2009 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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21解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1，设过点 A(−32,0)A(-3\sqrt{2}, 0) 的直线 ll 的方向向量 e=(1,k)\boldsymbol{e} = (1, k).
(1) 当直线 ll 与双曲线 CC 的一条渐近线 mm 平行时，求直线 ll 的方程及 ll 与 mm 的距离； (2) 证明：当 k>22k > \frac{\sqrt{2}}{2} 时，在双曲线 CC 的右支上不存在点 QQ，使之到直线 ll 的距离为 6\sqrt{6}.

2009 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（x≠0x \neq 0，常数 a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数 f(x)f(x) 在 x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty) 上为增函数，求 aa 的取值范围.

2007 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★★☆
如图，ABAB 是直线 ll 上的两点，且 AB=2AB = 2. 两个半径相等的动圆分别与 ll 相切于 AA，BB 点，CC 是这两个圆的公共点，则圆弧 ACAC，CBCB 与线段 ABAB 围成图形面积 SS 的取值范围是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
三个同学对问题“关于 xx 的不等式 x2+25+∣x3−5x2∣⩾axx^{2} + 25 + |x^{3} - 5x^{2}| \geqslant ax 在 [1,12][1, 12] 上恒成立，求实数 aa 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 xx 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 xx 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 aa 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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18不等式★★★☆☆
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 xx，yy（单位为 m\mathrm{m}）的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8 cm28 \mathrm{~cm}^{2}. 问 xx，yy 分别为多少（精确到 0.001 m0.001 \mathrm{~m}）时用料最省？

2004 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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