设 $m \in \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - (m + 2)x + m \ln x$。

(1) 若 $f(1) = 0$, 求不等式 $f(x) \le x^2 - 1$ 的解集;

(2) 若 $y = f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上存在极大值, 求 $m$ 的取值范围。

某公园欲建设一段斜坡, 斜坡面是一平面, 坡面与水平地面所成角为 $\theta$, 坡顶距水平地面的高度为 $4$ m.游客从坡底沿着斜坡面向上直行, 每走 $1$ m 消耗的体力为 $1.025 - \cos\theta$.当 $\theta =$______ 时, 游客走斜坡所消耗的体力最小.

已知 $f(x) = \ln x$.曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_1, f(a_1))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_2)$, 且 $a_2 > 0$; 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(a_2, f(a_2))$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0, a_3)$; 以此类推, 直至 $a_m \leqslant 0$ 时停止操作, 得到数列 $\{a_n\}$, 其中 $m$、$n$ 为正整数, $1 < n \leqslant m$.

(1) 证明: 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n = \ln a_{n-1} - 1$;

(2) 当 $n \geqslant 2$ 时, 试比较 $a_n$ 和 $a_{n-1} - 2$ 的大小, 并说明理由;

(3) 是否存在不小于 $3$ 的正整数 $k$, 使得 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k$ 成等差数列? 若存在, 求出 $k$ 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.