某公园欲建设一段斜坡，斜坡面是一平面，坡面与水平地面所成角为 $\theta$，坡顶距离水平地面的垂直高度为 $4$ 米，游客从坡底沿着斜坡面向上直行，每走 $1$ 米消耗的体力为 $1.025-\cos\theta$，当 $\theta=\underline{\hspace{2em}}$ 时，游客走斜坡所消耗的总体力最小.

若 $x$，$y\in\mathbf{R}^+$，且 $\frac1x+2y=3$，则 $\frac yx$ 的最大值为______.

当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，不等式 $\sin \frac{\pi x}{2} \geqslant kx$ 成立. 则实数 $k$ 的取值范围是______.

将函数 $y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2$（$x \in [0, 6]$）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta$（$0 \leqslant \theta \leqslant \alpha$），得到曲线 $C$. 若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为______.

如图，$AB$ 是直线 $l$ 上的两点，且 $AB = 2$. 两个半径相等的动圆分别与 $l$ 相切于 $A$，$B$ 点，$C$ 是这两个圆的公共点，则圆弧 $AC$，$CB$ 与线段 $AB$ 围成图形面积 $S$ 的取值范围是______.

三个同学对问题“关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + 25 + |x^{3} - 5x^{2}| \geqslant ax$ 在 $[1, 12]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 $x$ 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 $x$ 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 $a$ 的取值范围是______.