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06导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在 (0,1)(0,1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,1)(0,1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=exx+1y=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x+1} 在点 (1,e2)\left(1,\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) 处的切线方程为（ ）
A.
y=e4xy=\dfrac{\mathrm{e}}{4}x
B.
y=e2xy=\dfrac{\mathrm{e}}{2}x
C.
y=e4x+e4y=\dfrac{\mathrm{e}}{4}x+\dfrac{\mathrm{e}}{4}
D.
y=e2x+3e4y=\dfrac{\mathrm{e}}{2}x+\dfrac{3\mathrm{e}}{4}

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
当 x=1x=1 时，函数 f(x)=aln⁡x+bxf(x)=a\ln x+\frac b x 取得最大值 −2-2，则 f′(2)=f'(2)=（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac12
C.
12\frac12
D.
11

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08导数及其应用★★☆☆☆
当 x=1x=1 时，函数 f(x)=aln⁡x+bxf(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x} 取得最大值 −2-2，则 f′(2)=f'(2)=（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\dfrac{1}{2}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
1

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
已知曲线 y=aex+xln⁡xy=a\mathrm{e}^x+x\ln x 在点 (1,ae)(1,a\mathrm{e}) 处的切线方程为 y=2x+by=2x+b，则（ ）
A.
a=ea=\mathrm{e}，b=−1b=-1
B.
a=ea=\mathrm{e}，b=1b=1
C.
a=e−1a=\mathrm{e}^{-1}，b=1b=1
D.
a=e−1a=\mathrm{e}^{-1}，b=−1b=-1

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
已知曲线 y=aex+xln⁡xy=a\mathrm{e}^x+x\ln x 在点 (1,ae)(1,a\mathrm{e}) 处的切线方程为 y=2x+by=2x+b，则（ ）
A.
a=ea=\mathrm{e}，b=−1b=-1
B.
a=ea=\mathrm{e}，b=1b=1
C.
a=e−1a=\mathrm{e}^{-1}，b=1b=1
D.
a=e−1a=\mathrm{e}^{-1}，b=−1b=-1

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x4+x2+2y=-x^4+x^2+2 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x4+x2+2y=-x^4+x^2+2 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1 \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
\begin{solution} 设 P1=(x1,−ln⁡x1)P_1=(x_1,-\ln x_1)，P2=(x2,ln⁡x2)P_2=(x_2,\ln x_2)，其中 0<x1<1<x20<x_1<1<x_2.两条切线的斜率分别为 −1x1-\frac{1}{x_1} 和 1x2\frac{1}{x_2}.由两切线垂直，
−1x1x2=−1-\frac1{x_1x_2}=-1
故 x1x2=1x_1x_2=1.令 t=ln⁡x2=−ln⁡x1>0t=\ln x_2=-\ln x_1>0，则 x1=e−tx_1=\mathrm{e}^{-t}，x2=etx_2=\mathrm{e}^t.两条切线分别为 l1:y=−etx+t+1l_1:y=-\mathrm{e}^tx+t+1，l2:y=e−tx+t−1l_2:y=\mathrm{e}^{-t}x+t-1. 它们在 yy 轴上的截距之差为 22，而联立两式得交点 PP 的横坐标
xP=2et+e−tx_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
所以
S△PAB=12×2×xP=2et+e−tS_{\triangle PAB}=\frac12\times2\times x_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
当 t>0t>0 时，分母大于 22，且随 tt 从 00 增大到 +∞+\infty 时该面积从 11 降到 00.故面积的取值范围为 (0,1)(0,1)，选 A. \end{solution}
A.
(0,1)\left(0,1\right)
B.
(0,2)\left(0,2\right)
C.
(0,+∞)\left(0,+\infty\right)
D.
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)

2016 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
已知 aa 为函数 f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x 的极小值点，则 a=a=（ ）
A.
−4-4
B.
−2-2
C.
44
D.
22

2016 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1f(x) = \frac{1}{2} (m - 2)x^2 + (n - 8)x + 1 （m⩾0m \geqslant 0，n⩾0n \geqslant 0）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上单调递减，那么 mnmn 的最大值为（ ）
\begin{solution} 函数导数为 f′(x)=(m−2)x+n−8f'(x)=(m-2)x+n-8. 要使函数在 [12,2]\left[\frac12,2\right] 上单调递减，需要 f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0 在该区间恒成立.
当 m⩾2m\geqslant2 时，导数在区间上的最大值为 f′(2)f'(2)，故 2m+n⩽122m+n\leqslant12. 此时 2⩽m⩽62\leqslant m\leqslant6，且
mn⩽m(12−2m)=18−2(m−3)2⩽18mn\leqslant m(12-2m)=18-2(m-3)^2\leqslant18
当 0⩽m<20\leqslant m<2 时，导数在区间上的最大值为 f′(12)f'\left(\frac12\right)，故 n⩽9−m2n\leqslant9-\frac m2. 因而 mn⩽m(9−m2)<16<18mn\leqslant m\left(9-\frac m2\right)<16<18.
取 m=3m=3，n=6n=6 时，f′(x)=x−2⩽0f'(x)=x-2\leqslant0 在给定区间成立，且 mn=18mn=18，故选 B. \end{solution}
A.
1616
B.
1818
C.
2525
D.
812\frac{81}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，x∈(−1,1)x \in (-1, 1). 现有下列命题：
① f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)； ② f(2xx2+1)=2f(x)f\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right) = 2f(x)； ③ ∣f(x)∣⩾2∣x∣|f(x)| \geqslant 2|x|.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A.
①②③
B.
②③
C.
①③
D.
①②

2014 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x33x−1y = \frac{x^3}{3^{x} - 1} 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a} （a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若曲线 y=sin⁡xy = \sin x 上存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 使得 f(f(y0))=y0f(f(y_0)) = y_0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1, \mathrm{e}]
B.
[e−1−1,1][\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
C.
[1,1+e][1, 1 + \mathrm{e}]
D.
[e−1−1,e+1][\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]

2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
在抛物线 y=x2+ax−5y = x^{2} + ax - 5 （a≠0a \neq 0）上取横坐标为 x1=−4x_{1} = -4，x2=2x_{2} = 2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=365x^{2} + 5y^{2} = 36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A.
(−2,−9)(-2, -9)
B.
(0,−5)(0, -5)
C.
(2,−9)(2, -9)
D.
(1,−6)(1, -6)

2011 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
在抛物线 y=x2+ax−5y = x^2 + ax - 5（a≠0a \neq 0）上取横坐标为 x1=−4x_1 = -4，x2=2x_2 = 2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=365x^2 + 5y^2 = 36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A.
(−2,−9)(-2, -9)
B.
(0,−5)(0, -5)
C.
(2,−9)(2, -9)
D.
(1,−6)(1, -6)

2011 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={a+log⁡2x当 x⩾2 时x2−4x−2当 x<2 时f(x) = \begin{cases} a + \log_2 x & \text{当 } x \geqslant 2 \text{ 时}\\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{当 } x < 2 \text{ 时} \end{cases}
在点 x=2x = 2 处连续，则常数 aa 的值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2009 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1x2−12x2−x−1=\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} =（ ）
A.
00
B.
11
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2007 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知一组抛物线 y=12ax2+bx+1y = \frac{1}{2}ax^2 + bx + 1，其中 aa 为 22，44，66，88 中任取的一个数，bb 为 11，33，55，77 中任取的一个数. 从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1x = 1 交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A.
112\frac{1}{12}
B.
760\frac{7}{60}
C.
625\frac{6}{25}
D.
525\frac{5}{25}

2007 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=4x−x3y = 4x - x^3 在点 (−1,−3)(-1, -3) 处的切线方程是（ ）
A.
y=7x+4y = 7x + 4
B.
y=7x+2y = 7x + 2
C.
y=x−4y = x - 4
D.
y=x−2y = x - 2

2006 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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