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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x}，x∈(0,π2)x\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right).
(1) 当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin2x 恒成立，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left( p,0 \right). 过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3|MF|=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−xf(x)=x^3-x，g(x)=x2+ag(x)=x^2+a，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))\left(x_1,f(x_1)\right) 处的切线也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.
(1) 若 x1=−1x_1=-1，求 aa； (2) 求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=a2x2+ax−3ln⁡x+1f(x)=a^2x^2+ax-3\ln x+1，其中 a>0a>0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 的图象与 xx 轴没有公共点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+bf(x)=2x^3-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 是否存在 aa，bb，使得 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最小值为 −1-1 且最大值为 11？若存在，求出 aa，bb 的所有值；若不存在，说明理由.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+2f(x)=2x^3-ax^2+2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 0<a<30<a<3 时，记 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最大值为 MM，最小值为 mm，求 M−mM-m 的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln⁡(1+x)−2xf(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x.
(1) 若 a=0a=0，证明：当 −1<x<0-1<x<0 时，f(x)<0f(x)<0；当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0； (2) 若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(ax2+x−1)e−xf(x)=\left(ax^2+x-1\right)\mathrm{e}^{-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,−1)(0,-1) 处的切线方程； (2) 证明：当 a≥1a\ge1 时，f(x)+e≥0f(x)+\mathrm{e}\ge0.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>1x−e1−xf(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x} 在区间 (1,+∞)\left(1,+\infty\right) 内恒成立（e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数）.

2016 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，g(x)=1x−eexg(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}，e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1x>1 时，g(x)>0g(x)>0； (3) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立.

2016 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2(x+a)ln⁡x+x2−2ax−2a2+af(x) = -2(x + a)\ln x + x^2 - 2ax - 2a^2 + a，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 求导得 g(x)=f′(x)=2x−2ln⁡x−2ax−2a−2g(x)=f'(x)=2x-2\ln x-\frac{2a}{x}-2a-2，g′(x)=2(1−1x+ax2)=2(x2−x+a)x2g'(x)=2\left(1-\frac1x+\frac a{x^2}\right)=\frac{2(x^2-x+a)}{x^2}. 当 0<a<140<a<\dfrac14 时，x2−x+a=0x^2-x+a=0 的两个根为 α=1−1−4a2\alpha=\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2，β=1+1−4a2\beta=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2. 因此 g(x)g(x) 在 (0,α)(0,\alpha) 和 (β,+∞)(\beta,+\infty) 上单调递增，在 (α,β)(\alpha,\beta) 上单调递减.
当 a⩾14a\geqslant\dfrac14 时，x2−x+a⩾0x^2-x+a\geqslant0，所以 g(x)g(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增. \item 对任意 a>0a>0，在 x>1x>1 时有
g′(x)=2(x2−x+a)x2>0g'(x)=\frac{2(x^2-x+a)}{x^2}>0
又 g(1)=−4a<0g(1)=-4a<0，且当 x→+∞x\to+\infty 时 g(x)→+∞g(x)\to+\infty，所以存在唯一的 c(a)>1c(a)>1 使 g(c(a))=0g(c(a))=0. 因而 ff 在 (1,c(a))(1,c(a)) 上递减，在 (c(a),+∞)(c(a),+\infty) 上递增，f(c(a))f(c(a)) 是 ff 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上的最小值.
令 Φ(a)=f(c(a))\Phi(a)=f(c(a)). 函数 g(x,a)g(x,a) 关于 xx，aa 连续，且在每个根 c(a)>1c(a)>1 处有 ∂g∂x=g′(c(a))>0\dfrac{\partial g}{\partial x}=g'(c(a))>0，所以唯一根 c(a)c(a) 随 aa 连续变化，从而 Φ(a)\Phi(a) 连续. 进一步，对任意固定的 δ>0\delta>0，有
g(1+δ,0)=2(δ−ln⁡(1+δ))>0g(1+\delta,0)=2\bigl(\delta-\ln(1+\delta)\bigr)>0
由连续性，当 a>0a>0 充分接近 00 时仍有 g(1+δ,a)>0g(1+\delta,a)>0. 又 g(1,a)<0g(1,a)<0，且 gg 在 x>1x>1 上递增，故 1<c(a)<1+δ1<c(a)<1+\delta，从而 c(a)→1c(a)\to1（a→0+a\to0^+）. 因此 Φ(a)→f(1,0)=1>0\Phi(a)\to f(1,0)=1>0. 另一方面，取 a=12a=\dfrac12，有 f(1)=0f(1)=0，且 g(1)=−2<0g(1)=-2<0，所以 ff 在 11 的右邻域内小于 00，即 Φ(12)<0\Phi\left(\dfrac12\right)<0. 由介值定理，存在 a0∈(0,12)⊂(0,1)a_0\in\left(0,\dfrac12\right)\subset(0,1) 使 Φ(a0)=0\Phi(a_0)=0.
对这个 a0a_0，函数 ff 先严格递减后严格递增，且在唯一极小点 c(a0)c(a_0) 处取值 00，所以 f(x)⩾0f(x)\geqslant0 在 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立，且 f(x)=0f(x)=0 在该区间内只有唯一解 x=c(a0)x=c(a_0). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 a1=−2a_{1} = -2，点 (a8,4b7)(a_{8}, 4b_{7}) 在函数 f(x)f(x) 的图象上，求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn}\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2014 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，求 a 的取值范围.

2014 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，证明：e−2<a<1\mathrm{e} - 2 < a < 1.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item g(x)=f′(x)=ex−2ax−bg(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x-2ax-b，且 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增. 若 a⩽12a\leqslant\frac12，则 g′(x)⩾0g'(x)\geqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(0)=1−bg(0)=1-b. 若 \frac12<a<\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)=0g'(x)=0 的解 x0=ln⁡(2a)x_0=\ln(2a) 在 (0,1)(0,1) 内，故最小值为
g(x0)=2a−2aln⁡(2a)−bg(x_0)=2a-2a\ln(2a)-b
若 a\geqslant\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)⩽0g'(x)\leqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(1)=e−2a−bg(1)=\mathrm{e}-2a-b. 综上，最小值为
\begin{cases} 1-b, & a\leqslant\frac12,\\ 2a-2a\ln(2a)-b, & \frac12<a<\frac\mathrm{e}2,\\ \mathrm{e}-2a-b, & a\geqslant\frac\mathrm{e}2. \end{cases}
\item 由 f(1)=0f(1)=0，得 a+b=e−1a+b=\mathrm{e}-1，即 b=e−1−ab=\mathrm{e}-1-a. 又 f(0)=0f(0)=0，设题设中 (0,1)(0,1) 内的零点为 x0x_0. 对区间 [0,x0][0,x_0] 和 [x0,1][x_0,1] 分别使用罗尔定理，得 g=f′g=f' 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点.
由于 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增，且 gg 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点，罗尔定理表明 g′g' 在这两个零点之间有一个零点. 因而 gg 在该点左侧递减、右侧递增，两个零点之外函数值严格为正，从而 g(0)>0g(0)>0，g(1)>0g(1)>0. 因此 g(0)=1−b=a+2−e>0g(0)=1-b=a+2-\mathrm{e}>0，g(1)=e−2a−b=1−a>0g(1)=\mathrm{e}-2a-b=1-a>0. 于是 e−2<a<1\mathrm{e}-2<a<1. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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