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21
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
a
x
−
sin
x
cos
3
x
f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x}
f
(
x
)
=
a
x
−
c
o
s
3
x
s
i
n
x
，
x
∈
(
0
,
π
2
)
x\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)
x
∈
(
0
,
2
π
)
.
(1) 当
a
=
8
a=8
a
=
8
时，讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调性； (2) 若
f
(
x
)
<
sin
2
x
f(x)<\sin2x
f
(
x
)
<
sin
2
x
恒成立，求
a
a
a
的取值范围.
2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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08
导数及其应用
★★☆☆☆
曲线
y
=
e
x
x
+
1
y=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x+1}
y
=
x
+
1
e
x
在点
(
1
,
e
2
)
\left(1,\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right)
(
1
,
2
e
)
处的切线方程为（ ）
A.
y
=
e
4
x
y=\dfrac{\mathrm{e}}{4}x
y
=
4
e
x
B.
y
=
e
2
x
y=\dfrac{\mathrm{e}}{2}x
y
=
2
e
x
C.
y
=
e
4
x
+
e
4
y=\dfrac{\mathrm{e}}{4}x+\dfrac{\mathrm{e}}{4}
y
=
4
e
x
+
4
e
D.
y
=
e
2
x
+
3
e
4
y=\dfrac{\mathrm{e}}{2}x+\dfrac{3\mathrm{e}}{4}
y
=
2
e
x
+
4
3
e
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20
导数及其应用
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
a
x
−
sin
x
cos
2
x
f(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}
f
(
x
)
=
a
x
−
cos
2
x
sin
x
，
x
∈
(
0
,
π
2
)
x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)
x
∈
(
0
,
2
π
)
.
(1) 当
a
=
1
a=1
a
=
1
时，讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调性； (2) 若
f
(
x
)
+
sin
x
<
0
f(x)+\sin x<0
f
(
x
)
+
sin
x
<
0
，求
a
a
a
的取值范围.
2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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