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10
6分
函数与初等函数
★★★☆☆
已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
是定义在
R
\mathbf{R}
R
上的奇函数，且当
x
>
0
x>0
x
>
0
时，
f
(
x
)
=
(
x
2
−
3
)
e
x
+
2
f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2
f
(
x
)
=
(
x
2
−
3
)
e
x
+
2
，则（ ）
A.
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f
(
0
)
=
0
B.
当
x
<
0
x<0
x
<
0
时，
f
(
x
)
=
−
(
x
2
−
3
)
e
−
x
−
2
f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
f
(
x
)
=
−
(
x
2
−
3
)
e
−
x
−
2
C.
f
(
x
)
≥
2
f(x)\ge 2
f
(
x
)
≥
2
当且仅当
x
≥
3
x\ge \sqrt3
x
≥
3
D.
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
是
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的极大值点
2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题
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13
5分
导数及其应用
★★☆☆☆
若
x
=
2
x=2
x
=
2
是函数
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
a
)
f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
a
)
的极值点，则
f
(
0
)
=
f(0)=
f
(
0
)
=
______.
2025 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题
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18
17分
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
+
1
2
x
2
−
k
x
3
f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
+
2
1
x
2
−
k
x
3
，其中
0
<
k
<
1
3
0<k<\frac13
0
<
k
<
3
1
.
(1) 证明：
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设
x
1
x_1
x
1
，
x
2
x_2
x
2
分别为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
的极值点和零点.
(i) 设函数
g
(
t
)
=
f
(
x
1
+
t
)
−
f
(
x
1
−
t
)
g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)
g
(
t
)
=
f
(
x
1
+
t
)
−
f
(
x
1
−
t
)
，证明：
g
(
t
)
g(t)
g
(
t
)
在区间
(
0
,
x
1
)
(0,x_1)
(
0
,
x
1
)
单调递减； (ii) 比较
2
x
1
2x_1
2
x
1
与
x
2
x_2
x
2
的大小，并证明你的结论.
2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题
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