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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xnx_n 是曲线 y=x2n+2+1y = x^{2n+2} + 1 在点 (1,2)(1,2) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标.
(1) 求数列 {xn}\{x_{n}\} 的通项公式； (2) 记 Tn=x12x32⋯x2n−12T_{n} = x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdots x_{2n - 1}^{2}. 证明：Tn⩾14nT_{n} \geqslant \frac{1}{4n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数 y=x2n+2+1y=x^{2n+2}+1 在 (1,2)(1,2) 处的导数为 2n+22n+2，所以切线方程为
y−2=(2n+2)(x−1)y-2=(2n+2)(x-1)
令 y=0y=0，得 −2=(2n+2)(xn−1)-2=(2n+2)(x_n-1)，xn=1−1n+1=nn+1x_n=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.
\item 由通项公式，
Tn=∏k=1n(2k−12k)2T_n=\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2
当 k⩾2k\geqslant2 时，
(2k−1)2−2k(2k−2)=1>0(2k-1)^2-2k(2k-2)=1>0
故
(2k−12k)2>2k−22k=k−1k\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2>\frac{2k-2}{2k}=\frac{k-1}{k}
当 n=1n=1 时，T1=14=14nT_1=\frac14=\frac1{4n}；当 n⩾2n\geqslant2 时，
Tn=14∏k=2n(2k−12k)2>14∏k=2nk−1k=14nT_n=\frac14\prod_{k=2}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 >\frac14\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}=\frac1{4n}
所以对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 Tn⩾14nT_n\geqslant\frac1{4n}. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2−ax+bf(x) = x^{2} - ax + b.
(1) 讨论函数 f(sin⁡x)f(\sin x) 在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) 内的单调性并判断有无极值. 有极值时求出极值； (2) 记 f0(x)=x2−a0x+b0f_{0}(x) = x^{2} - a_{0}x + b_{0}，求函数 ∣f(sin⁡x)−f0(sin⁡x)∣|f(\sin x) - f_{0}(\sin x)| 在 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值 DD； (3) 在上一问中，取 a0=b0=0a_0 = b_0 = 0，求 z=b−a24z = b - \frac{a^2}{4} 满足 D⩽1D \leqslant 1 时的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 h(x)=f(sin⁡x)=sin⁡2x−asin⁡x+bh(x)=f(\sin x)=\sin^2x-a\sin x+b. 则
h′(x)=(2sin⁡x−a)cos⁡xh'(x)=(2\sin x-a)\cos x
在给定区间内 cos⁡x>0\cos x>0，所以单调性由 2sin⁡x−a2\sin x-a 的符号决定.
当 a⩽−2a\leqslant-2 时，对任意 x∈(−π2,π2)x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)，有 2sin⁡x−a>02\sin x-a>0，故 h(x)h(x) 单调递增且无极值. 当 a⩾2a\geqslant2 时，有 2sin⁡x−a<02\sin x-a<0，故 h(x)h(x) 单调递减且无极值. 当 −2<a<2-2<a<2 时，方程 2sin⁡x−a=02\sin x-a=0 在区间内有唯一解 x0=arcsin⁡a2x_0=\arcsin\frac a2，函数先减后增，在 x0x_0 处取得极小值
h(x0)=(a2)2−a⋅a2+b=b−a24h(x_0)=\left(\frac a2\right)^2-a\cdot\frac a2+b=b-\frac{a^2}{4}
\item 令 t=sin⁡xt=\sin x，则 t∈[−1,1]t\in[-1,1]，并且
f(t)−f0(t)=−(a−a0)t+(b−b0)f(t)-f_0(t)=-(a-a_0)t+(b-b_0)
因此
D=max⁡−1⩽t⩽1∣−(a−a0)t+(b−b0)∣=max⁡{∣b−b0−(a−a0)∣,∣b−b0+(a−a0)∣}D=\max_{-1\leqslant t\leqslant1}|-(a-a_0)t+(b-b_0)| =\max\{|b-b_0-(a-a_0)|,|b-b_0+(a-a_0)|\}
根据 max⁡{∣u−v∣,∣u+v∣}=∣u∣+∣v∣\max\{|u-v|,|u+v|\}=|u|+|v|，得到
D=∣a−a0∣+∣b−b0∣D=|a-a_0|+|b-b_0|
\item 此时 D=∣a∣+∣b∣⩽1D=|a|+|b|\leqslant1. 于是
z=b−a24⩽b⩽∣b∣⩽1−∣a∣⩽1z=b-\frac{a^2}{4}\leqslant b\leqslant|b|\leqslant1-|a|\leqslant1
取 a=0a=0，b=1b=1 时 D=1D=1，且 z=1z=1，所以 zz 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax(x+r)2f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}（a>0a > 0，r>0r > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 ar=400\frac{a}{r} = 400，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的极值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=1+(1+a)x−x2−x3f(x) = 1 + (1 + a)x - x^2 - x^3，其中 a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，求 f(x)f(x) 取得最大值和最小值时的 xx 的值.

2014 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设实数 c>0c > 0，整数 p>1p > 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：当 x>−1x > -1 且 x≠0x \neq 0 时，(1+x)p>1+px(1 + x)^p > 1 + px； (2) 数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1>c1pa_1 > c^{\frac{1}{p}}，an+1=p−1pan+cpan1−pa_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}，证明：an>an+1>c1pa_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}.

2014 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=1+(1+a)x−x2−x3f(x) = 1 + (1 + a)x - x^2 - x^3，其中 a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，求 f(x)f(x) 取得最大值和最小值时的 xx 的值.

2014 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 fn(x)=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}} （x∈Rx \in \mathbf{R}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）. 证明：
(1) 对每个 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，存在唯一的 xn∈[23,1]x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]，满足 fn(xn)=0f_n(x_n) = 0； (2) 对任意 p∈N∗p \in \mathbf{N}^*，由上一问中 xnx_n 构成的数列 {xn}\{x_n\} 满足 0<xn−xn+p<1n0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_{1} = 2，a2+a4=8a_{2} + a_{4} = 8，且对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，函数 f(x)=(an−an+1+an+2)x+an+1cos⁡x−an+2sin⁡xf(x) = (a_{n} - a_{n+1} + a_{n+2})x + a_{n+1}\cos x - a_{n+2}\sin x 满足 f′ ⁣(π2)=0f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 bn=2(an+12an)b_{n} = 2\left(a_{n} + \frac{1}{2a_{n}}\right)，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2013 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=aex+1aex+bf(x) = a\mathrm{e}^{x} + \frac{1}{a\mathrm{e}^{x}} + b （a>0a > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 内的最小值. (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程为 y=32xy = \frac{3}{2} x，求 aa，bb 的值.

2012 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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