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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+2cos⁡xf(x)=x^2+2\cos x，g(x)=ex(cos⁡x−sin⁡x+2x−2)g(x)=\mathrm{e}^x\left( \cos x-\sin x+2x-2 \right)，其中 e≈2.71828…\mathrm{e}\approx2.71828\ldots 是自然对数的底数.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (π,f(π))(\pi,f(\pi)) 处的切线方程； (2) 令 h(x)=g(x)−af(x)h(x)=g(x)-af(x)（a∈Ra\in\mathbf{R}），讨论 h(x)h(x) 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

2017 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，焦距为 2.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 如图，该直线 l:y=k1x−32l:y=k_1x-\dfrac{\sqrt3}{2} 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，CC 是椭圆 EE 上的一点，直线 OCOC 的斜率为 k2k_2，且 k1k2=24k_1k_2=\dfrac{\sqrt2}{4}，MM 是线段 OCOC 延长线上一点，且 ∣MC∣:∣AB∣=2:3\lvert MC\rvert:\lvert AB\rvert=2:3，⊙M\odot M 的半径为 ∣MC∣\lvert MC\rvert，OSOS，OTOT 是 ⊙M\odot M 的两条切线，切点分别为 SS，TT，求 ∠SOT\angle SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 ll 的斜率.

2017 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a2x2f(x)=\dfrac13x^3-\dfrac a2x^2，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 当 a=2a=2 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (3,f(3))(3,f(3)) 处的切线方程； (2) 设函数 g(x)=f(x)+(x−a)cos⁡x−sin⁡xg(x)=f(x)+(x-a)\cos x-\sin x，讨论 g(x)g(x) 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

2017 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=a(x−ln⁡x)+2x−1x2f(x)=a\left(x-\ln x\right)+\dfrac{2x-1}{x^2}，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 a=1a=1 时，证明 f(x)>f′(x)+32f(x)>f'(x)+\dfrac32 对于任意的 x∈[1,2]x\in[1,2] 成立.

2016 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=xln⁡x−ax2+(2a−1)xf(x)=x\ln x-ax^2+(2a-1)x，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 令 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，求函数 g(x)g(x) 的单调区间； (2) 已知 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极大值，求实数 aa 的取值范围.

2016 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(x+1)+a(x2−x)f(x) = \ln(x + 1) + a(x^2 - x)，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 极值点的个数，并说明理由； (2) 若 ∀x>0\forall x > 0，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 成立，求 aa 的取值范围.

2015 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=exx2−k(2x+ln⁡x)f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x^2} - k\left(\frac{2}{x} + \ln x\right) （kk 为常数，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 当 k⩽0k \leqslant 0 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 在 (0,2)(0,2) 内存在两个极值点，求 kk 的取值范围.

2014 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=aln⁡x+x−1x+1f(x) = a \ln x + \frac{x - 1}{x + 1}，其中 aa 为常数.
(1) 若 a=0a = 0，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性.

2014 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=xe2x+cf(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{2x}} + c（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 是自然对数的底数，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间，最大值； (2) 讨论关于 xx 的方程 ∣ln⁡x∣=f(x)\lvert \ln x \rvert = f(x) 的根的个数.

2013 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别是 F1F_{1}，F2F_{2}，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过 F1F_{1} 且垂直于 xx 轴的直线被椭圆 CC 截得的线段长为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 PP 是椭圆 CC 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1PF_{1}，PF2PF_{2}. 设 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 的角平分线 PMPM 交 CC 的长轴于点 M(m,0)M(m,0)，求 mm 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，过点 PP 作斜率为 kk 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点. 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，若 k≠0k \neq 0，试证明 1kk1+1kk2\frac{1}{kk_{1}} + \frac{1}{kk_{2}} 为定值，并求出这个定值.

2013 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax2+bx−ln⁡xf(x) = ax^2 + bx - \ln x（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 设 a⩾0a \geqslant 0，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 a>0a > 0，且对任意 x>0x > 0，f(x)⩾f(1)f(x) \geqslant f(1)，试比较 ln⁡a\ln a 与 −2b-2b 的大小.

2013 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，FF 是抛物线 C:x2=2pyC: x^2 = 2py （p>0p > 0） 的焦点，MM 是抛物线 CC 上位于第一象限内的任意一点，过 MM，FF，OO 三点的圆的圆心为 QQ，点 QQ 到抛物线 CC 的准线的距离为 34\frac{3}{4}.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 是否存在点 MM，使得直线 MQMQ 与抛物线 CC 相切于点 MM？ 若存在，求出点 MM 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 若点 MM 的横坐标为 2\sqrt{2}，直线 l:y=kx+14l: y = kx + \frac{1}{4} 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，ll 与圆 QQ 有两个不同的交点 DD，EE，求当 12⩽k⩽2\frac{1}{2} \leqslant k \leqslant 2 时，∣AB∣2+∣DE∣2|AB|^2 + |DE|^2 的最小值.

2012 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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