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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 若 a=b=ca=b=c，f(4)=8f(4)=8，求 aa 的值； (2) 若 a≠ba\ne b，b=cb=c，且 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的零点均在集合 {−3,1,3}\{-3,1,3\} 中，求 f(x)f(x) 的极小值； (3) 若 a=0a=0，0<b≤10<b\le 1，c=1c=1，且 f(x)f(x) 的极大值为 MM，求证：M≤427M\le\dfrac4{27}.

2019 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
记 f′(x)f'(x)，g′(x)g'(x) 分别为函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数. 若存在 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，满足 f(x0)=g(x0)f(x_0)=g(x_0) 且 f′(x0)=g′(x0)f'(x_0)=g'(x_0)，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的一个“SS 点”.
(1) 证明：函数 f(x)=xf(x)=x 与 g(x)=x2+2x−2g(x)=x^2+2x-2 不存在“SS 点”； (2) 若函数 f(x)=ax2−1f(x)=ax^2-1 与 g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x 存在“SS 点”，求实数 aa 的值； (3) 已知函数 f(x)=−x2+af(x)=-x^2+a，g(x)=bexxg(x)=\dfrac{b\mathrm{e}^x}{x}. 对任意 a>0a>0，判断是否存在 b>0b>0，使函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 内存在“SS 点”，并说明理由.

2018 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1（a>0a>0，b∈Rb\in\mathbf{R}）有极值，且导函数 f′(x)f'(x) 的极值点是 f(x)f(x) 的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
(1) 求 bb 关于 aa 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b2>3ab^2>3a； (3) 若 f(x)f(x)，f′(x)f'(x) 这两个函数的所有极值之和不小于 −72-\dfrac72，求 aa 的取值范围.

2017 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P−A1B1C1D1P-A_1B_1C_1D_1，下部的形状是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1（如图所示），并要求正四棱柱的高 O1OO_1O 是正四棱锥的高 PO1PO_1 的 44 倍.
(1) 若 AB=6 mAB=6\text{ m}，PO1=2 mPO_1=2\text{ m}，则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m6\text{ m}，则当 PO1PO_1 为多少时，仓库的容积最大？

2016 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为 l1l_1，l2l_2，山区边界曲线为 CC，计划修建的公路为 ll. 如图所示，MM，NN 为 CC 的两个端点，测得点 MM 到 l1l_1，l2l_2 的距离分别为 5 千米5\text{ 千米} 和 40 千米40\text{ 千米}，点 NN 到 l1l_1，l2l_2 的距离分别为 20 千米20\text{ 千米} 和 2.5 千米2.5\text{ 千米}. 以 l2l_2，l1l_1 所在的直线分别为 xx，yy 轴，建立平面直角坐标系 xOyxOy. 假设曲线 CC 符合函数 y=ax2+by = \dfrac{a}{x^2 + b}（其中 aa，bb 为常数）模型.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 设公路 ll 与曲线 CC 相切于 PP 点，PP 的横坐标为 tt.
(i) 请写出公路 ll 长度的函数解析式 f(t)f(t)，并写出其定义域； (ii) 当 tt 为何值时，公路 ll 的长度最短？求出最短长度.

2015 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 试讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 b=c−ab = c - a（实数 cc 是与 aa 无关的常数）. 当函数 f(x)f(x) 有三个不同的零点时，aa 的取值范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,32)∪(32,+∞)(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)，求 cc 的值.

2015 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 是各项为正数且公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列.
(1) 证明：2a12^{a_1}，2a22^{a_2}，2a32^{a_3}，2a42^{a_4} 依次构成等比数列； (2) 是否存在 a1a_1，dd，使得 a1a_1，a22a_2^{2}，a33a_3^{3}，a44a_4^{4} 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 a1a_1，dd 及正整数 nn，kk，使得 a1na_1^{n}，a2n+ka_2^{n+k}，a3n+2ka_3^{n+2k}，a4n+3ka_4^{n+3k} 依次构成等比数列？并说明理由.

2015 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f0(x)=sin⁡xxf_{0}(x) = \frac{\sin x}{x} （x>0x > 0），设 fn(x)f_{n}(x) 为 fn−1(x)f_{n-1}(x) 的导数，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 2f1(π2)+π2f2(π2)2f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) 的值； (2) 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，等式 ∣nfn−1(π4)+π4fn(π4)∣=22\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| = \frac{\sqrt{2}}{2} 都成立.

2014 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−axf(x)=\ln x-ax，g(x)=ex−axg(x)=\mathrm{e}^x-ax，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数，且 g(x)g(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上有最小值，求 aa 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上是单调增函数，试求 f(x)f(x) 的零点个数，并证明你的结论.

2013 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCDABCD 是边长为 60 cm60\mathrm{~cm} 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 AA，BB，CC，DD 四个点重合于图中的点 PP，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，EE，FF 在 ABAB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 AE=FB=xAE=FB=x（cm\mathrm{cm}）.
(1) 若广告商要求包装盒侧面积 SS（cm2\mathrm{cm}^2）最大，试问 xx 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 VV（cm3\mathrm{cm}^3）最大，试问 xx 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

2011 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知 aa，bb 是实数，函数 f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax，g(x)=x2+bxg(x)=x^2+bx，f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数，若 f′(x)g′(x)⩾0f'(x)g'(x)\geqslant 0 在区间 II 上恒成立，则称 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 II 上单调性一致.
(1) 设 a>0a>0，若函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 [−1,+∞)[-1,+\infty) 上单调性一致，求实数 bb 的取值范围； (2) 设 a<0a<0 且 a≠ba\neq b，若 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在以 aa，bb 为端点的开区间上单调性一致，求 ∣a−b∣|a-b| 的最大值.

2011 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
某兴趣小组测量电视塔 AEAE 的高度 HH（单位：m\mathrm{m}）. 如示意图，垂直放置的标杆 BCBC 的高度 h=4 mh=4 \mathrm{~m}，仰角 ∠ABE=α\angle ABE=\alpha，∠ADE=β\angle ADE=\beta.
(1) 该小组已经测得一组 α\alpha，β\beta 的值，算出了 tan⁡α=1.24\tan\alpha=1.24，tan⁡β=1.20\tan\beta=1.20，请据此算出 HH 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 dd（单位：m\mathrm{m}），使 α\alpha 与 β\beta 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 125 m125 \mathrm{~m}，试问 dd 为多少时，α−β\alpha-\beta 最大.

2010 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 上的函数，其导函数为 f′(x)f'(x). 如果存在实数 aa 和函数 h(x)h(x)，其中 h(x)h(x) 对任意的 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 都有 h(x)>0h(x)>0，使得 f′(x)=h(x)(x2−ax+1)f'(x)=h(x)\left(x^2-ax+1\right)，则称函数 f(x)f(x) 具有性质 P(a)P(a).
(1) 设函数 f(x)=ln⁡x+b+2x+1f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}（x>1x>1），其中 bb 为实数.
(i) 求证：函数 f(x)f(x) 具有性质 P(b)P(b)； (ii) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 已知函数 g(x)g(x) 具有性质 P(2)P(2)，给定 x1x_1，x2∈(1,+∞)x_2\in(1,+\infty)，x1<x2x_1<x_2，设 mm 为实数，α=mx1+(1−m)x2\alpha=mx_1+(1-m)x_2，β=(1−m)x1+mx2\beta=(1-m)x_1+mx_2，且 α>1\alpha>1，β>1\beta>1，若 ∣g(α)−g(β)∣<∣g(x1)−g(x2)∣|g(\alpha)-g(\beta)|<|g(x_1)-g(x_2)|，求 mm 的取值范围.

2010 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCDABCD 的两个顶点 AA，BB 及 CDCD 的中点 PP 处，已知 AB=20 kmAB = 20\,\mathrm{km}，BC=10 kmBC = 10\,\mathrm{km}. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 AA，BB 等距离的一点 OO 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AOAO，BOBO，POPO. 记排污管道的总长度为 y kmy\,\mathrm{km}.
(1) 按下列要求写出函数关系式：
(i) 设 ∠BAO=θ\angle BAO = \theta（rad\mathrm{rad}），将 yy 表示为 θ\theta 的函数； (ii) 设 OP=xOP = x（km\mathrm{km}），将 yy 表示为 xx 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

2008 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设 P(x,y)P(x, y) 是椭圆 x23+y2=1\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 上的一个动点，求 S=x+yS = x + y 的最大值.

2008 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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