在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)$，$A$，$B$ 是圆 $C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36$ 上的两个动点，满足 $PA=PB$，则 $\triangle PAB$ 面积的最大值是______.

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 $O$ 在水平线 $MN$ 上，桥 $AB$ 与 $MN$ 平行，$OO'$ 为铅垂线（$O'$ 在 $AB$ 上）. 经测量，左侧曲线 $AO$ 上任一点 $D$ 到 $MN$ 的距离 $h_1$（$\mathrm{~m}$）与 $D$ 到 $OO'$ 的距离 $a$（$\mathrm{~m}$）之间满足关系式 $h_1=\dfrac{1}{40}a^2$；右侧曲线 $BO$ 上任一点 $F$ 到 $MN$ 的距离 $h_2$（$\mathrm{~m}$）与 $F$ 到 $OO'$ 的距离 $b$（$\mathrm{~m}$）之间满足关系式 $h_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b$. 已知点 $B$ 到 $OO'$ 的距离为 $40\mathrm{~m}$.

(1) 求桥 $AB$ 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 $OO'$ 的桥墩 $CD$ 和 $EF$，且 $CE$ 为 $80\mathrm{~m}$，其中 $C$，$E$ 在 $AB$ 上（不包括端点）. 桥墩 $EF$ 每米造价 $k$（万元），桥墩 $CD$ 每米造价 $\dfrac32k$（万元）（$k>0$）. 问 $O'E$ 为多少米时，桥墩 $CD$ 与 $EF$ 的总造价最低？

已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 与 $h(x)=kx+b$（$k$，$b\in\mathbf{R}$）在区间 $D$ 上恒有 $f(x)\ge h(x)\ge g(x)$.

(1) 若 $f(x)=x^2+2x$，$g(x)=-x^2+2x$，$D=(-\infty,+\infty)$，求 $h(x)$ 的表达式； (2) 若 $f(x)=x^2-x+1$，$g(x)=k\ln x$，$h(x)=kx-k$，$D=(0,+\infty)$，求 $k$ 的取值范围； (3) 若 $f(x)=x^4-2x^2$，$g(x)=4x^2-8$，$h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2$，$0<|t|\le\sqrt2$，$D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]$，证明：$n-m\le\sqrt7$.