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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 是否存在 aa，bb，使得曲线 y=f(1x)y=f\left( \frac1x \right) 关于直线 x=bx=b 对称，若存在，求 aa，bb 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 存在极值，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=−1a=-1 时，f(x)=(1x−1)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)，所以 f(1)=0f(1)=0，且
f′(x)=−ln⁡(1+x)x2+1x−11+xf'(x)=-\frac{\ln(1+x)}{x^2}+\frac{\frac{1}{x}-1}{1+x}
因此 f′(1)=−ln⁡2f'(1)=-\ln2，曲线在 (1,f(1))=(1,0)(1,f(1))=(1,0) 处的切线方程为 y=−ln⁡2(x−1)y=-\ln2(x-1)，即 y=−(ln⁡2)x+ln⁡2y=-(\ln2)x+\ln2. \item 当 x>0x>0 时，
f′(x)=1x+a1+x−ln⁡(1+x)x2=x+ax2−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)f'(x)=\frac{\frac{1}{x}+a}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}
由于分母为正，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增等价于 a≥g(x)a\ge g(x)，其中
g(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx2g(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}
令 h(x)=x22+x−(1+x)ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)，则 h(0)=0h(0)=0，且 h′(x)=x−ln⁡(1+x)>0h'(x)=x-\ln(1+x)>0（因为 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x），所以 h(x)>0h(x)>0. 因而 g(x)<12g(x)<\dfrac12；另一方面，由两次求导或 ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，得 lim⁡x→0+g(x)=12\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12. 所以 sup⁡x>0g(x)=12\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12.
当 a≥12a\ge\dfrac12 时，a≥g(x)a\ge g(x) 对任意 x>0x>0 成立，故 f′(x)>0f'(x)>0，函数在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增；当 a<12a<\dfrac12 时，由 g(x)→12g(x)\to\dfrac12，可取充分小的正数 xx 使 g(x)>ag(x)>a，此时 f′(x)<0f'(x)<0，不满足题意. 因此 aa 的取值范围为 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x2+bx+b)1−2xf(x) = (x^2 + bx + b)\sqrt{1 - 2x}（b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 当 b=4b = 4 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right) 上单调递增，求 bb 的取值范围.

2014 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2)xf(x) = (4x^{2} + 4ax + a^{2})\sqrt{x}，其中 a<0a < 0.
(1) 当 a=−4a = -4 时，求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [1,4][1,4] 上的最小值为 8，求 aa 的值.

2014 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=a(1−2∣x−12∣)f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)，aa 为常数且 a>0a > 0.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=12x = \frac{1}{2} 对称； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，且 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 的二阶周期点. 如果 f(x)f(x) 有两个二阶周期点 x1x_1，x2x_2，试确定 aa 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 x1x_1，x2x_2 和 aa，设 x3x_3 为函数 f(f(x))f(f(x)) 的最大值点，A(x1,f(f(x1)))A(x_1, f(f(x_1)))，B(x2,f(f(x2)))B(x_2, f(f(x_2)))，C(x3,0)C(x_3, 0)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，讨论 S(a)S(a) 的单调性.

2013 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数
f(x)={1ax,0⩽x⩽a,11−a(1−x),a<x⩽1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a} x, & 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), & a < x \leqslant 1, \end{cases}
aa 为常数且 a∈(0,1)a \in (0,1).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求 f(f(13))f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，但 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的二阶周期点，证明：函数 f(x)f(x) 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 x1x_1，x2x_2； (3) 对于（2）中的 x1x_{1}，x2x_{2}，设 A(x1,f(f(x1)))A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)，B(x2,f(f(x2)))B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)，C(a2,0)C\left(a^{2}, 0\right)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，求 S(a)S(a) 在区间 [13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)exf(x) = (ax^2 + bx + c)\mathrm{e}^x 在 [0,1][0,1] 上单调递减且满足 f(0)=1f(0) = 1，f(1)=0f(1) = 0.
(1) 求 aa 的取值范围； (2) 设 g(x)=f(x)−f′(x)g(x) = f(x) - f'(x)，求 g(x)g(x) 在 [0,1][0,1] 上的最大值和最小值.

2012 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2） 是曲线 CC 上的动点，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll，点 PP 的坐标是 (0,−1)(0, -1)，ll 与 PAPA，PBPB 分别交于点 DD，EE，求 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比.

2012 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=−13x3+12x2+2axf(x) = -\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (23,+∞)\left(\frac{2}{3}, +\infty\right) 上存在单调递增区间，求 aa 的取值范围； (2) 当 0<a<20 < a < 2 时，f(x)f(x) 在 [1,4][1, 4] 上的最小值为 −163-\frac{16}{3}，求 f(x)f(x) 在该区间上的最大值.

2011 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=13x3+mx2+nxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + mx^2 + nx.
(1) 如果 g(x)=f′(x)−2x−3g(x) = f'(x) - 2x - 3 在 x=−2x = -2 处取得最小值 −5-5，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 如果 m+n<10m + n < 10 （mm，n∈N+n \in \mathbf{N}_+），f(x)f(x) 的单调递减区间的长度是正整数，试求 mm 和 nn 的值. （注：区间 (a,b)(a, b) 的长度为 b−ab - a）

2011 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡x+ln⁡(2−x)+axf(x) = \ln x + \ln(2 - x) + ax （a>0a > 0）.
(1) 当 a=1a = 1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,1](0,1] 上的最大值为 12\frac{1}{2}，求 aa 的值.

2010 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2axf(x) = 6x^{3} + 3(a + 2)x^{2} + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 的两个极值点为 x1x_{1}，x2x_{2}，且 x1x2=1x_{1}x_{2} = 1，求实数 aa 的值； (2) 是否存在实数 aa，使得 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上的单调函数？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2010 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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