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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，bn=n(1+1n)nanb_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n（n∈N+n\in\mathbf{N}_+），e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=1+x−exf(x)=1+x-\mathrm{e}^x 的单调区间，并比较 (1+1n)n\left(1+\dfrac1n\right)^n 与 e\mathrm{e} 的大小； (2) 计算 b1a1\dfrac{b_1}{a_1}，b1b2a1a2\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}，b1b2b3a1a2a3\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}，由此推测计算 b1b2⋯bna1a2⋯an\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n} 的公式，并给出证明； (3) 令 cn=(a1a2⋯an)1nc_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}，数列 {an}\{a_n\}，{cn}\{c_n\} 的前 nn 项和分别记为 SnS_n，TnT_n，证明：Tn<eSnT_n<\mathrm{e} S_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，f(x)+g(x)=exf(x)+g(x)=\mathrm{e}^x，其中 e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的解析式，并证明：当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0，g(x)>1g(x)>1； (2) 设 a⩽0a\leqslant 0，b⩾1b\geqslant 1，证明：当 x>0x>0 时，ag(x)+(1−a)<f(x)x<bg(x)+(1−b)ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b).

2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数.

2014 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设 nn 为正整数，rr 为正有理数.
(1) 求函数 f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1（x>−1x > -1）的最小值； (2) 证明： nr+1−(n−1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1−nr+1r+1\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}； (3) 设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记 [x][x] 为不小于 xx 的最小整数，例如 [2]=2[2] = 2，[π]=4[\pi] = 4，[3−2]=−1\left[\frac{3}{-2}\right] = -1. 令 S=813+823+833+⋯+1253S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}，求 [S][S] 的值.（参考数据： 8043≈344.780^{\frac{4}{3}} \approx 344.7，8143≈350.581^{\frac{4}{3}} \approx 350.5，12443≈618.3124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3，12643≈631.7126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7）

2013 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 a>0a>0，b>0b>0，已知函数 f(x)=ax+bx+1f(x)=\frac{ax+b}{x+1}.
(1) 当 a≠ba\neq b 时，讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，称 f(x)f(x) 为 aa，bb 关于 xx 的加权平均数.
(i) 判断 f(1)f(1)，f(ba)f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)，f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right) 是否成等比数列，并证明 f(ba)⩽f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right)\leqslant f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)； (ii) aa，bb 的几何平均数记为 GG，称 2aba+b\frac{2ab}{a+b} 为 aa，bb 的调和平均数，记为 HH，若 H⩽f(x)⩽GH\leqslant f(x)\leqslant G，求 xx 的取值范围.

2013 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=rx−xr+(1−r)f(x) = rx - x^{r} + (1 - r) （x>0x > 0），其中 rr 为有理数，且 0<r<10 < r < 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1⩾0a_{1} \geqslant 0，a2⩾0a_{2} \geqslant 0，b1b_{1}，b2b_{2} 为正有理数. 若 b1+b2=1b_{1} + b_{2} = 1，则 a1b1a2b2⩽a1b1+a2b2a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 α\alpha 为正有理数时，有求导公式 (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图 1，∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ}，BC=3BC = 3，过动点 AA 作 AD⊥BCAD \perp BC，垂足 DD 在线段 BCBC 上且异于点 BB，连接 ABAB. 沿 ADAD 将 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}（如图 2 所示）.
(1) 当 BDBD 的长为多少时，三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大； (2) 当三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大时，设点 EE，MM 分别为棱 BCBC，ACAC 的中点，试在棱 CDCD 上确定一点 NN，使得 EN⊥BMEN \perp BM，并求 ENEN 与平面 BMNBMN 所成角的大小.

2012 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=axn(1−x)+bf(x) = ax^n (1 - x) + b（x>0x > 0），nn 为正整数，aa，bb 为常数. 曲线 y=f(x)y = f(x) 在 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 x+y=1x + y = 1.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最大值； (3) 证明： f(x)<1nef(x) < \frac{1}{n\mathrm{e}}.

2012 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1f(x)=\ln x-x+1，x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)，求函数 f(x)f(x) 的最大值. (2) 设 aka_k，bkb_k（k=1k=1，22，…\dots，nn）均为正数，证明：
① 若 a1b1+a2b2+⋯+anbn⩽b1+b2+⋯+bna_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\dots+b_n，则 a1b1a2b2⋯anbn⩽1a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_n^{b_n}\leqslant1； ② 若 b1+b2+⋯+bn=1b_1+b_2+\dots+b_n=1，则 1n⩽b1b1b2b2⋯bnbn⩽b12+b22+⋯+bn2\dfrac{1}{n}\leqslant b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}\leqslant b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2.

2011 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+af(x) = x^{3} + 2ax^{2} + bx + a，g(x)=x2−3x+2g(x) = x^{2} - 3x + 2，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数，已知曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 在点 (2,0)(2,0) 处有相同的切线 ll.
(1) 求 aa，bb 的值，并写出切线 ll 的方程； (2) 若方程 f(x)+g(x)=mxf(x) + g(x) = mx 有三个互不相同的实根 00，x1x_1，x2x_2，其中 x1<x2x_1 < x_2，且对任意的 x∈[x1,x2]x \in [x_1, x_2]，f(x)+g(x)<m(x−1)f(x) + g(x) < m (x - 1) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2011 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年20\text{ 年} 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元6\text{ 万元}. 该建筑物每年的能源消耗费用 CC（单位：万元）与隔热层厚度 xx（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5C(x) = \frac{k}{3x + 5}（0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元8\text{ 万元}. 设 f(x)f(x) 为隔热层建造费用与 20 年20\text{ 年} 的能源消耗费用之和.
(1) 求 kk 的值及 f(x)f(x) 的表达式. (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)f(x) 达到最小，并求最小值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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