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045分导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=5x+8ln⁡xy=5x+8\ln x 在点 (1,5)(1,5) 处的切线方程为（ ）
A.
y=3x+2y=3x+2
B.
y=5xy=5x
C.
y=8x−3y=8x-3
D.
y=13x−8y=13x-8

2026 · 全国 · 一卷 · 第 4 题 · 选择题

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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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06导数及其应用★☆☆☆☆
函数 f(x)=x4−2x3f(x)=x^4-2x^3 的图象在点 (1,f(1))\left( 1,f\left( 1 \right) \right) 处的切线方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
y=−2x−1y=-2x-1
B.
y=−2x+1y=-2x+1
C.
y=2x−3y=2x-3
D.
y=2x+1y=2x+1

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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05导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
169π\frac{16}{9\pi}
C.
4(2−1)3π\frac{4(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
12(2−1)3π\frac{12(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+ex−12f(x) = x^2 + \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}（x<0x < 0） 与 g(x)=x2+ln⁡(x+a)g(x) = x^2 + \ln\left(x + a\right) 的图象上存在关于 yy 轴对称的点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 取函数 ff 图象上的点 (x,f(x))(x,f(x))，其中 x<0x<0. 其关于 yy 轴的对称点为 (−x,f(x))(-x,f(x))，要在 gg 的图象上，就必须满足
x2+ex−12=x2+ln⁡(a−x)x^2+\mathrm{e}^x-\frac12=x^2+\ln(a-x)
因此 a=x+exp⁡(ex−12)a=x+\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)，x<0x<0. 记 h(x)=x+exp⁡(ex−12)h(x)=x+\exp(\mathrm{e}^x-\frac12). 则
h′(x)=1+exexp⁡(ex−12)>0h'(x)=1+\mathrm{e}^x\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)>0
所以 hh 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上严格递增. 又 lim⁡x→−∞h(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty，lim⁡x→0−h(x)=exp⁡(12)=e\lim_{x\to0^-}h(x)=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm{e}}. 由于 x=0x=0 不在取值范围内，hh 的值域为 (−∞,e)(-\infty,\sqrt{\mathrm{e}}). 故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,1e)\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)
B.
(−∞,e)\left(-\infty, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
C.
(−1e,e)\left(-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
D.
(−e,1e)\left(-\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)

2014 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+4g(x) = x^2 - 4x + 4 的图象的交点个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2013 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设直线 x=tx = t 与函数 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x 的图象分别交于点 MM，NN，则当 ∣MN∣|MN| 达到最小时 tt 的值为（ ）
A.
1
B.
12\frac{1}{2}
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2011 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=sin⁡xsin⁡x+cos⁡x−12y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} - \frac{1}{2} 在点 M(π4,0)M\left(\frac{\pi}{4}, 0\right) 处的切线的斜率为（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2011 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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05导数及其应用★☆☆☆☆
∫241xdx\int_2^4 \frac{1}{x} \mathrm{d}x 等于（ ）
A.
−2ln⁡2-2\ln 2
B.
2ln⁡22\ln 2
C.
−ln⁡2-\ln 2
D.
ln⁡2\ln 2

2010 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内有定义. 对于给定的正数 KK，定义函数
fK(x)={f(x),f(x)⩽K,K,f(x)>K.f_{K}(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \leqslant K,\\ K, & f(x) > K. \end{cases}
取函数 f(x)=2−x−e−xf(x) = 2 - x - \mathrm{e}^{-x}. 若对任意的 x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)，恒有 fK(x)=f(x)f_{K}(x) = f(x)，则（ ）
A.
KK 的最大值为2
B.
KK 的最小值为2
C.
KK 的最大值为1
D.
KK 的最小值为1

2009 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的导函数在区间 [a,b][a, b] 上是增函数，则函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的图象可能是 （ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=x−ax−1f(x) = \frac{x - a}{x - 1}，集合 M={x∣f(x)<0}M = \{x \mid f(x) < 0\}，P={x∣f′(x)>0}P = \{x \mid f'(x) > 0\}，若 M⫋PM \subsetneqq P，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(- \infty, 1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2006 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
设 f0(x)=sin⁡xf_0(x) = \sin x，f1(x)=f0′(x)f_1(x) = f_0'(x)，f2(x)=f1′(x)f_2(x) = f_1'(x)，⋯\cdots，fn+1(x)=fn′(x)f_{n+1}(x) = f_n'(x)，n∈Nn \in \mathbf{N}，则 f2005(x)=f_{2005}(x) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 连续求导得到 f0(x)=sin⁡xf_0(x)=\sin x、f1(x)=cos⁡xf_1(x)=\cos x、f2(x)=−sin⁡xf_2(x)=-\sin x、f3(x)=−cos⁡xf_3(x)=-\cos x、f4(x)=sin⁡xf_4(x)=\sin x，以后每四次循环一次. 由于 2005=4×501+12005=4\times501+1，所以 f2005(x)=f1(x)=cos⁡xf_{2005}(x)=f_1(x)=\cos x，故选 C. \end{solution}
A.
sin⁡x\sin x
B.
−sin⁡x-\sin x
C.
cos⁡x\cos x
D.
−cos⁡x-\cos x

2005 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数和偶函数，当 x<0x<0 时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0. 且 g(−3)=0g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0 的解集是（ ）
A.
(−3,0)∪(3,+∞)(-3,0)\cup(3,+\infty)
B.
(−3,0)∪(0,3)(-3,0)\cup(0,3)
C.
(−∞,−3)∪(3,+∞)(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)
D.
(−∞,−3)∪(0,3)(-\infty,-3)\cup(0,3)

2004 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
若函数 f(x)=x2+bx+cf(x) = x^{2} + bx + c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f′(x)f'(x) 的图象是（\quad）
A.
B.
C.
D.

2004 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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