设 $a\in(0,1)$，若函数 $f(x)=a^x+(1+a)^{x+1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是______.

已知 $f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x)$.

(1) 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 是否存在 $a$，$b$，使得曲线 $y=f\left( \frac1x \right)$ 关于直线 $x=b$ 对称，若存在，求 $a$，$b$ 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围.

若函数 $f(x)=x^3+ax+2$ 存在 $3$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

已知函数 $f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x)$.

(1) 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=-1$ 时，$f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)$，所以 $f(1)=0$，且 因此 $f'(1)=-\ln2$，曲线在 $(1,f(1))=(1,0)$ 处的切线方程为 $y=-\ln2(x-1)$，即 $y=-(\ln2)x+\ln2$. \item 当 $x>0$ 时， 由于分母为正，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增等价于 $a\ge g(x)$，其中 令 $h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)$，则 $h(0)=0$，且 $h'(x)=x-\ln(1+x)>0$（因为 $\ln(1+x)<x$），所以 $h(x)>0$. 因而 $g(x)<\dfrac12$；另一方面，由两次求导或 $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，得 $\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12$. 所以 $\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12$.

当 $a\ge\dfrac12$ 时，$a\ge g(x)$ 对任意 $x>0$ 成立，故 $f'(x)>0$，函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a<\dfrac12$ 时，由 $g(x)\to\dfrac12$，可取充分小的正数 $x$ 使 $g(x)>a$，此时 $f'(x)<0$，不满足题意. 因此 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac12,+\infty\right)$. \end{enumerate} \end{solution}