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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=kxg(x) = kx（k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 证明：当 x>0x > 0 时，f(x)<xf(x) < x； (2) 证明：当 k<1k < 1 时，存在 x0>0x_0 > 0，使得对任意的 x∈(0,x0)x \in (0, x_0)，恒有 f(x)>g(x)f(x) > g(x)； (3) 确定 kk 的所有可能取值，使得存在 t>0t > 0，对任意的 x∈(0,t)x \in (0, t)，恒有 ∣f(x)−g(x)∣<x2|f(x) - g(x)| < x^2.

2015 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−(x−1)22f(x) = \ln x - \frac{(x - 1)^2}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 证明：当 x>1x > 1 时，f(x)<x−1f(x) < x - 1； (3) 确定实数 kk 的所有可能取值，使得存在 x0>1x_0 > 1，当 x∈(1,x0)x \in (1, x_0) 时，恒有 f(x)>k(x−1)f(x) > k (x - 1).

2015 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax（aa 为常数）的图象与 yy 轴交于点 AA，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 AA 处的切线斜率为 −1-1.
(1) 求 aa 的值及函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 证明：当 x>0x > 0 时，x2<exx^2 < \mathrm{e}^{x}； (3) 证明：对任意给定的正数 cc，总存在 x0x_0，使得当 x∈(x0,+∞)x \in (x_0, +\infty) 时，恒有 x2<cexx^2 < c\mathrm{e}^{x}.

2014 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax（aa 为常数）的图象与 yy 轴交于点 AA，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 AA 处的切线斜率为 −1-1.
(1) 求 aa 的值及函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 证明：当 x>0x > 0 时，x2<exx^2 < \mathrm{e}^x； (3) 证明：对任意给定的正数 cc，总存在 x0x_0，使得当 x∈(x0,+∞)x \in (x_0, +\infty) 时，恒有 x2<cexx^2 < c\mathrm{e}^x.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f(0)=1f(0)=1，故图象与 yy 轴交于 A=(0,1)A=(0,1). 又 f′(x)=ex−af'(x)=\mathrm{e}^x-a，所以切线斜率为 f′(0)=1−a=−1f'(0)=1-a=-1，从而 a=2a=2. 此时 f′(x)=ex−2f'(x)=\mathrm{e}^x-2，当 x<ln⁡2x<\ln2 时 f′(x)<0f'(x)<0，当 x>ln⁡2x>\ln2 时 f′(x)>0f'(x)>0. 因此函数在 x=ln⁡2x=\ln2 处取得极小值 f(ln⁡2)=eln⁡2−2ln⁡2=2−2ln⁡2f(\ln2)=\mathrm{e}^{\ln2}-2\ln2=2-2\ln2. 又 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty，所以函数没有最大值. \item 令 g(x)=ex−x2g(x)=\mathrm{e}^x-x^2，则 g′(x)=ex−2xg'(x)=\mathrm{e}^x-2x. 由第（1）问，函数 ex−2x\mathrm{e}^x-2x 的最小值为 2−2ln⁡22-2\ln2. 因为 0<2<e0<2<\mathrm{e}，所以 ln⁡2<1\ln2<1，从而 2−2ln⁡2>02-2\ln2>0，故 g′(x)>0g'(x)>0，即 gg 在 R\mathbf{R} 上递增. 又 g(0)=1>0g(0)=1>0，所以当 x>0x>0 时 g(x)>g(0)>0g(x)>g(0)>0，即 x2<exx^2<\mathrm{e}^x. \item 给定 c>0c>0，取 x0=max⁡{1,2ln⁡4c}x_0=\max\left\{1,2\ln\frac4c\right\}. 当 x>x0x>x_0 时，x>0x>0，且 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c. 由第（2）问应用于 x2\frac x2，得 x24<ex2\frac{x^2}{4}<\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，即 x2<4ex2x^2<4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}. 又由 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c 得 4<cex24<c\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，所以 4ex2<cex4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}<c\mathrm{e}^x. 综上，x2<cexx^2<c\mathrm{e}^x. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a \ln x（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.

2013 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−exf(x) = \mathrm{e}^{x} + ax^{2} - \mathrm{e} x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 试确定 aa 的取值范围，使得曲线 y=f(x)y = f(x) 上存在唯一的点 PP，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 PP.

2012 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=axsin⁡x−32f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}，a∈Ra \in \mathbf{R}，且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值为 π−32\frac{\pi - 3}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 判断函数 f(x)f(x) 在 (0,π)(0, \pi) 内的零点个数，并加以证明.

2012 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 yy（单位：千克）与销售价格 xx（单位：元/千克）满足关系式 y=ax−3+10(x−6)2y=\frac{a}{x-3}+10(x-6)^2，其中 3<x<63<x<6，aa 为常数. 已知销售价格为 5 元/千克5\text{ 元/千克} 时，每日可售出该商品 11 千克11\text{ 千克}.
(1) 求 aa 的值； (2) 若该商品的成本为 3 元/千克3\text{ 元/千克}，试确定销售价格 xx 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

2011 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 aa，bb 为常数，且 a≠0a \neq 0. 函数 f(x)=−ax+b+axln⁡xf(x) = -ax + b + ax \ln x，f(e)=2f(\mathrm{e}) = 2（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 a=1a = 1 时，是否同时存在实数 mm 和 MM（m<Mm < M），使得对每一个 t∈[m,M]t \in [m, M]，直线 y=ty = t 与曲线 y=f(x)y = f(x)（x∈[1e,e]x \in \left[ \frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e} \right]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 mm 和最大的实数 MM；若不存在，说明理由.

2011 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x，其图象记为曲线 CC.
(i) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (ii) 证明：若对于任意非零实数 x1x_{1}，曲线 CC 与其在点 P1(x1,f(x1))P_{1}(x_{1}, f(x_{1})) 处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2}))，曲线 CC 与其在点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2})) 处的切线交于另一点 P3(x3,f(x3))P_{3}(x_{3}, f(x_{3}))，线段 P1P2P_{1}P_{2}，P2P3P_{2}P_{3} 与曲线 CC 所围成封闭图形的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，则 S1S2\frac{S_{1}}{S_{2}} 为定值； (2) 对于一般的三次函数 g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d （a≠0a \neq 0），请给出类似于（1）（ii） 的正确命题，并予以证明.

2010 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−x2+ax+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax + b 的图象在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=3x−2y = 3x - 2.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 设 g(x)=f(x)+mx−1g(x) = f(x) + \frac{m}{x - 1} 是 [2,+∞)[2, +\infty) 上的增函数.
(i) 求实数 mm 的最大值； (ii) 当 mm 取最大值时，是否存在点 QQ，使得过点 QQ 的直线若能与曲线 y=g(x)y = g(x) 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 QQ 的坐标；若不存在，说明理由.

2010 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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