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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡xf(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x 在区间 (1,2)(1,2) 单调递增，则 aa 的最小值为（ ）
A.
e2\mathrm{e}^2
B.
e\mathrm{e}
C.
e−1\mathrm{e}^{-1}
D.
e−2\mathrm{e}^{-2}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3−1x3f(x)=x^3-\dfrac{1}{x^3}，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
D.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=2sin⁡x+cos⁡xy=2\sin x+\cos x 在点 (π,−1)(\pi,-1) 处的切线方程为（ ）
A.
x−y−π−1=0x-y-\pi-1=0
B.
2x−y−2π−1=02x-y-2\pi-1=0
C.
2x+y−2π+1=02x+y-2\pi+1=0
D.
x+y−π+1=0x+y-\pi+1=0

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 y=(1−x)f′(x)y = (1 - x)f'(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 记 g(x)=(1−x)f′(x)g(x)=(1-x)f'(x). 由图可知 g(x)g(x) 在 −2-2，11，22 处为零，并且符号依次为 g(x):g(x):，++， −\ -， +\ +， −\ - 对应区间为 (−∞,−2)(-\infty,-2)，(−2,1)(-2,1)，(1,2)(1,2)，(2,+∞)(2,+\infty). 当 x<1x<1 时 1−x>01-x>0，当 x>1x>1 时 1−x<01-x<0，所以
f′(x)>0在 (−∞,−2) 和 (2,+∞)f'(x)>0\quad\text{在 }(-\infty,-2)\text{ 和 }(2,+\infty)
f′(x)<0在 (−2,1) 和 (1,2)f'(x)<0\quad\text{在 }(-2,1)\text{ 和 }(1,2)
因此 f(x)f(x) 在 −2-2 左增右减，在 22 左减右增，故有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(2)f(2). 选项 D 正确. \end{solution}
A.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(2)f(2) 和极小值 f(1)f(1)
B.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(1)f(1)
C.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(2)f(2) 和极小值 f(−2)f(-2)
D.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(2)f(2)

2012 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，则函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 要说明“可能是”，只需构造一个满足条件的可导函数. 取 f(x)=12(x+2)2f(x)=\frac12(x+2)^2，则 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，且 f′(x)=x+2f'(x)=x+2. 于是 y=xf′(x)=x(x+2)=x2+2xy=xf'(x)=x(x+2)=x^2+2x，其图象是开口向上的抛物线，过 x=−2x=-2 和 x=0x=0 两个零点，在两零点之间位于 xx 轴下方，正是选项 C 所表示的图象，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2012 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03导数及其应用★☆☆☆☆
已知 lim⁡x→+∞(2x−1+ax−13x)=2\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{x - 1} + \frac{ax - 1}{3x}\right) = 2，则 a=a =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 lim⁡x→+∞2x−1=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x-1}=0，且 ax−13x=a3−13x\displaystyle\frac{ax-1}{3x}=\frac{a}{3}-\frac{1}{3x}，所以原极限等于 a3\frac{a}{3}. 由 a3=2\frac{a}{3}=2，得 a=6a=6，故选 D. \end{solution}
A.
−6-6
B.
2
C.
3
D.
6

2011 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03导数及其应用★☆☆☆☆
曲线 y=−x3+3x2y = -x^{3} + 3x^{2} 在点(1,2)\left(1,2\right)处的切线方程为（ ）
A.
y=3x−1y = 3x - 1
B.
y=−3x+5y = -3x + 5
C.
y=3x+5y = 3x + 5
D.
y=2xy = 2x

2011 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→2(4x2−4−1x−2)=\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(\frac{4}{x^2 - 4} -\frac{1}{x - 2}\right) =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将分式通分，得
4x2−4−1x−2=4−(x+2)(x−2)(x+2)=−(x−2)(x−2)(x+2)=−1x+2\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{4-(x+2)}{(x-2)(x+2)} =\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}
其中 x≠2x\ne2，所以约分不改变 x→2x\to2 时的极限. 因此
lim⁡x→2(4x2−4−1x−2)=lim⁡x→2(−1x+2)=−14\displaystyle\lim_{x\to2}\left(\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\right)=\lim_{x\to2}\left(-\frac{1}{x+2}\right)=-\frac14
故选 B. \end{solution}
A.
−1-1
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
11

2010 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
把函数 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 的图象 C1C_1 向右平移 uu 个单位长度，再向下平移 vv 个单位长度后得到图象 C2C_2. 若对任意的 u>0u > 0，曲线 C1C_1 与 C2C_2 至多只有一个交点，则 vv 的最小值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2009 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=sin⁡x5+4cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{5 + 4\cos x}}（0⩽x⩽2π0 \leqslant x \leqslant 2\pi）的值域是（ ）
A.
[−14,14]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]
B.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
C.
[−12,12]\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]
D.
[−23,23]\left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]

2008 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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