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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xeax−exf(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，f(x)<−1f(x)<-1，求 aa 的取值范围； (3) 设 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln⁡(n+1)\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1).

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★★
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 00 代，经过一次繁殖后为第 11 代，再经过一次繁殖后为第 22 代，依此类推. 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 XX 表示 11 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0，其中 i=0i=0，11，22，33.
(1) 已知 p0=0.4p_0=0.4，p1=0.3p_1=0.3，p2=0.2p_2=0.2，p3=0.1p_3=0.1，求 E(X)E(X)； (2) 设 pp 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，pp 是关于 xx 的方程 p0+p1x+p2x2+p3x3=xp_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x 的一个最小正实根，求证：当 E(X)≤1E(X)\le1 时，p=1p=1，当 E(X)>1E(X)>1 时，p<1p<1； (3) 根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(x−1)ex−ax2+bf(x)=(x-1)\mathrm{e}^x-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：f(x)f(x) 有一个零点.
① 12<a≤e22\dfrac12<a\le\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}，b>2ab>2a； ② 0<a<120<a<\dfrac12，b≤2ab\le2a.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2.
(1) 若 a=1a=1，证明：当 x≥0x\ge0 时，f(x)≥1f(x)\ge1； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 只有一个零点，求 aa.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=3x2+axexf(x) = \frac{3x^2 + ax}{\mathrm{e}^x}（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 若 f(x)f(x) 在 x=0x = 0 处取得极值，确定 aa 的值，并求此时曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 [3,+∞)[3, +\infty) 上为减函数，求 aa 的取值范围.

2015 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x2f(x) = ax^3 + x^2（a∈Ra \in \mathbf{R}）在 x=−43x = -\frac{4}{3} 处取得极值.
(1) 确定 aa 的值； (2) 若 g(x)=f(x)exg(x) = f(x)\mathrm{e}^{x}，讨论 g(x)g(x) 的单调性.

2015 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ae2x−be−2x−cxf(x) = a\mathrm{e}^{2x} - b\mathrm{e}^{-2x} - cx （aa，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}） 的导函数 f′(x)f'(x) 为偶函数，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))\left(0, f(0)\right) 处的切线的斜率为 4−c4-c.
(1) 确定 aa， bb 的值； (2) 若 c=3c = 3，判断 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若 f(x)f(x) 有极值，求 cc 的取值范围.

2014 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x4+ax−ln⁡x−32f(x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线垂直于 y=12xy = \frac{1}{2} x.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间和极值.

2014 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=a(x−5)2+6ln⁡xf(x) = a(x - 5)^2 + 6\ln x，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与 yy 轴相交于点 (0,6)(0, 6).
(1) 确定 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.
\begin{solution} 函数的定义域为 x>0x>0，且 f(1)=16af(1)=16a，f′(x)=2a(x−5)+6xf'(x)=2a(x-5)+\frac{6}{x}，f′(1)=6−8af'(1)=6-8a. 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=f(1)+f′(1)(x−1)y=f(1)+f'(1)(x-1)，所以它在 yy 轴上的截距为 f(1)−f′(1)f(1)-f'(1). 由题意，
16a−(6−8a)=616a-(6-8a)=6
解得 a=12a=\frac{1}{2}. 此时
f′(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)xf'(x)=x-5+\frac{6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}
因为 x>0x>0，所以当 0<x<20<x<2 或 x>3x>3 时 f′(x)>0f'(x)>0，当 2<x<32<x<3 时 f′(x)<0f'(x)<0. 因此，f(x)f(x) 在 (0,2)(0,2) 和 (3,+∞)(3,+\infty) 上单调递增，在 (2,3)(2,3) 上单调递减. 又 f(2)=92+6ln⁡2f(2)=\frac{9}{2}+6\ln 2，f(3)=2+6ln⁡3f(3)=2+6\ln 3. 所以 x=2x=2 时取得极大值 92+6ln⁡2\frac{9}{2}+6\ln 2，x=3x=3 时取得极小值 2+6ln⁡32+6\ln 3. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 r 米r\text{ 米}，高为 h 米h\text{ 米}，体积为 V 立方米V\text{ 立方米}. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米100\text{ 元/平方米}，底面的建造成本为 160 元/平方米160\text{ 元/平方米}，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元12000\pi\text{ 元}（π\pi 为圆周率）.
(1) 将 VV 表示成 rr 的函数 V(r)V(r)，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 V(r)V(r) 的单调性，并确定 rr 和 hh 为何值时该蓄水池的体积最大.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 2πrh2\pi rh，底面积为 πr2\pi r^2，故成本条件为
100⋅2πrh+160πr2=12000π100\cdot2\pi rh+160\pi r^2=12000\pi
约去 40π40\pi，得 5rh+4r2=3005rh+4r^2=300，h=300−4r25r=60r−45rh=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r. 因为 r>0r>0 且水池高度必须为正，需有
0<r<530<r<5\sqrt3
又 V=πr2hV=\pi r^2h，所以 V(r)=π(60r−45r3)V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)，0<r<530<r<5\sqrt3. \item 求导得
V′(r)=π(60−125r2)=12π5(25−r2)V'(r)=\pi\left(60-\frac{12}{5}r^2\right) =\frac{12\pi}{5}(25-r^2)
在 (0,5)(0,5) 上，V′(r)>0V'(r)>0，所以 V(r)V(r) 递增；在 (5,53)(5,5\sqrt3) 上，V′(r)<0V'(r)<0，所以 V(r)V(r) 递减. 因此最大值在 r=5r=5 处取得. 代入高度公式：
h=605−45×5=8h=\frac{60}{5}-\frac45\times5=8
故体积最大时 r=5r=5 米、h=8h=8 米. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)=aln⁡x+12x+32x+1f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1，其中 a∈Ra\in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数的定义域为 x>0x>0，且
f′(x)=ax−12x2+32f'(x)=\frac{a}{x}-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32
曲线在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴，所以该切线为水平切线，故 f′(1)=0f'(1)=0. 因此 a−12+32=0a-\frac12+\frac32=0，a=−1a=-1
\item 代入 a=−1a=-1，得
f′(x)=−1x−12x2+32=3x2−2x−12x2=(3x+1)(x−1)2x2f'(x)=-\frac1x-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32 =\frac{3x^{2}-2x-1}{2x^{2}} =\frac{(3x+1)(x-1)}{2x^{2}}
在定义域 x>0x>0 内，3x+1>03x+1>0，2x2>02x^{2}>0，所以 f′(x)<0f'(x)<0 当 0<x<10<x<1，f′(x)>0f'(x)>0 当 x>1x>1. 于是 f(x)f(x) 在 (0,1)(0,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增，故 x=1x=1 为极小值点. 极小值为
f(1)=−ln⁡1+12+32+1=3f(1)=-\ln1+\frac12+\frac32+1=3
函数没有最大值. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx+cf(x)=ax^3+bx+c 在点 x=2x=2 处取得极值 c−16c-16.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若 f(x)f(x) 有极大值 28，求 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3,3] 上的最小值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 的导数 f′(x)f'(x) 满足 f′(1)=2af'(1) = 2a，f′(2)=−bf'(2) = -b，其中常数 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)e−xg(x) = f'(x) \mathrm{e}^{-x}，求函数 g(x)g(x) 的极值.

2011 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=2x3+ax2+bx+1f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + bx + 1 的导数为 f′(x)f'(x). 若函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象关于直线 x=−12x = -\frac{1}{2} 对称，且 f′(1)=0f'(1) = 0.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.

2011 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x−1x+a+ln⁡(x+1)f(x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln\left(x + 1\right)，其中实数 a≠1a \neq 1.
(1) 若 a=2a = 2，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极值，试讨论 f(x)f(x) 的单调性.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=2a=2 时，f(0)=−12f(0)=-\frac{1}{2}，且 f′(x)=3(x+2)2+1x+1f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}+\frac{1}{x+1}，所以 f′(0)=74f'(0)=\frac{7}{4}. 因此曲线在 (0,f(0))=(0,−12)(0,f(0))=\left(0,-\frac{1}{2}\right) 处的切线方程为 y+12=74xy+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}x，即 y=74x−12y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}. \item 因为函数在 x=1x=1 处取得极值，且 x=1x=1 必须属于定义域，所以 a≠−1a\neq-1. 又 f′(1)=1a+1+12=0f'(1)=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}=0，解得 a=−3a=-3. 此时定义域为 (−1,3)∪(3,+∞)(-1,3)\cup(3,+\infty)，并且
f′(x)=−2(x−3)2+1x+1=(x−1)(x−7)(x−3)2(x+1)f'(x)=\frac{-2}{(x-3)^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)(x-7)}{(x-3)^2(x+1)}
由于定义域内分母为正，故 f′(x)>0f'(x)>0 在 (−1,1)(-1,1) 和 (7,+∞)(7,+\infty) 上成立，f′(x)<0f'(x)<0 在 (1,3)(1,3) 和 (3,7)(3,7) 上成立. 因此 f(x)f(x) 在 (−1,1)(-1,1)、(7,+∞)(7,+\infty) 上单调递增，在 (1,3)(1,3)、(3,7)(3,7) 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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