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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 是否存在 aa，bb，使得曲线 y=f(1x)y=f\left( \frac1x \right) 关于直线 x=bx=b 对称，若存在，求 aa，bb 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 存在极值，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=−1a=-1 时，f(x)=(1x−1)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)，所以 f(1)=0f(1)=0，且
f′(x)=−ln⁡(1+x)x2+1x−11+xf'(x)=-\frac{\ln(1+x)}{x^2}+\frac{\frac{1}{x}-1}{1+x}
因此 f′(1)=−ln⁡2f'(1)=-\ln2，曲线在 (1,f(1))=(1,0)(1,f(1))=(1,0) 处的切线方程为 y=−ln⁡2(x−1)y=-\ln2(x-1)，即 y=−(ln⁡2)x+ln⁡2y=-(\ln2)x+\ln2. \item 当 x>0x>0 时，
f′(x)=1x+a1+x−ln⁡(1+x)x2=x+ax2−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)f'(x)=\frac{\frac{1}{x}+a}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}
由于分母为正，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增等价于 a≥g(x)a\ge g(x)，其中
g(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx2g(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}
令 h(x)=x22+x−(1+x)ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)，则 h(0)=0h(0)=0，且 h′(x)=x−ln⁡(1+x)>0h'(x)=x-\ln(1+x)>0（因为 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x），所以 h(x)>0h(x)>0. 因而 g(x)<12g(x)<\dfrac12；另一方面，由两次求导或 ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，得 lim⁡x→0+g(x)=12\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12. 所以 sup⁡x>0g(x)=12\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12.
当 a≥12a\ge\dfrac12 时，a≥g(x)a\ge g(x) 对任意 x>0x>0 成立，故 f′(x)>0f'(x)>0，函数在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增；当 a<12a<\dfrac12 时，由 g(x)→12g(x)\to\dfrac12，可取充分小的正数 xx 使 g(x)>ag(x)>a，此时 f′(x)<0f'(x)<0，不满足题意. 因此 aa 的取值范围为 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2.
(1) 若 a=1a=1，证明：当 x≥0x\ge0 时，f(x)≥1f(x)\ge1； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 只有一个零点，求 aa.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 fn(x)=x+x2+⋯+xn−1f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1，x⩾0x \geqslant 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 求 fn′(2)f_{n}^{\prime}(2)； (2) 证明：fn(x)f_{n}(x) 在 (0,23)\left(0, \frac{2}{3}\right) 内有且仅有一个零点（记为 ana_{n}），且 0<an−12<13(23)n0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

2015 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=xf′(x)g(x) = xf'(x)，x⩾0x \geqslant 0，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 令 g1(x)=g(x)g_{1}(x) = g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))g_{n + 1}(x) = g(g_{n}(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，求 gn(x)g_{n}(x) 的表达式. (2) 若 f(x)⩾αg(x)f(x) \geqslant \alpha g(x) 恒成立，求实数 α\alpha 的取值范围. (3) 设 n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n)g(1) + g(2) + \cdots + g(n) 与 n−f(n)n - f(n) 的大小，并加以证明.

2014 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x+mxf(x) = \ln x + \frac{m}{x}，m∈Rm \in \mathbf{R}.
(1) 当 m=em = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，求 f(x)f(x) 的极小值； (2) 讨论函数 g(x)=f′(x)−x3g(x) = f'(x) - \frac{x}{3} 零点的个数； (3) 若对任意 b>a>0b > a > 0，f(b)−f(a)b−a<1\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 1 恒成立，求 mm 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 m=em=\mathrm{e} 时，x>0x>0，且
f′(x)=1x−ex2=x−ex2f'(x)=\frac1x-\frac{\mathrm{e}}{x^2}=\frac{x-\mathrm{e}}{x^2}
因此 f′(x)<0f'(x)<0 在 (0,e)(0,\mathrm{e}) 上成立，f′(x)>0f'(x)>0 在 (e,+∞)(\mathrm{e},+\infty) 上成立，故 x=ex=\mathrm{e} 处取得极小值. 其值为
f(e)=ln⁡e+ee=1+1=2f(\mathrm{e})=\ln\mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=1+1=2
\item x>0x>0 时
g(x)=1x−mx2−x3g(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}
由于 3x2>03x^2>0，g(x)=0g(x)=0 等价于
m=φ(x):=x−x33m=\varphi(x):=x-\frac{x^3}{3}
又
φ′(x)=1−x2\varphi'(x)=1-x^2
所以 φ\varphi 在 (0,1)(0,1) 上递增，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递减，且 φ(0+)=0\varphi(0^+)=0，φ(1)=23\varphi(1)=\frac23，φ(x)→−∞\varphi(x)\to-\infty（x→+∞x\to+\infty）. 因此，当 m>23m>\frac23 时有 00 个零点；当 m=23m=\frac23 或 m⩽0m\leqslant0 时有 11 个零点；当 0<m<230<m<\frac23 时有 22 个零点. \item 令 h(x)=f(x)−xh(x)=f(x)-x. 题设不等式等价于对任意 b>a>0b>a>0 有 h(b)<h(a)h(b)<h(a)，即 hh 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递减. 求导得
h′(x)=1x−mx2−1=−x2−x+mx2h'(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-1=-\frac{x^2-x+m}{x^2}
当 m⩾14m\geqslant\frac14 时，
x2−x+m=(x−12)2+m−14⩾0x^2-x+m=\left(x-\frac12\right)^2+m-\frac14\geqslant0
所以 h′(x)⩽0h'(x)\leqslant0，且至多在一个点取零. 对任意 b>a>0b>a>0，h(b)−h(a)=∫abh′(x) dx<0h(b)-h(a)=\int_a^b h'(x)\,\mathrm dx<0，故 hh 严格递减，题设成立.
当 m<14m<\frac14 时，x2−x+mx^2-x+m 在 x=12x=\frac12 处为负，故在该点附近 h′(x)>0h'(x)>0，可以取 b>a>0b>a>0 使 h(b)>h(a)h(b)>h(a)，题设不成立. 因此
m∈[14,+∞)m\in\left[\frac14,+\infty\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 若直线 y=kx+1y=kx+1 与 f(x)f(x) 的反函数的图象相切，求实数 kk 的值； (2) 设 x>0x>0，讨论曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=mx2y=mx^2（m>0m>0）公共点的个数； (3) 设 a<ba<b，比较 f(a)+f(b)2\dfrac{f(a)+f(b)}{2} 与 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的反函数的图象上点 (1,0)(1,0) 处的切线方程. (2) 证明：曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=12x2+x+1y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1 有唯一公共点. (3) 设 a<ba < b，比较 f(a+b2)f\left(\frac{a + b}{2}\right) 与 f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_n(x) = x^n + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点； (2) 设 nn 为偶数，∣fn(−1)∣⩽1|f_n(-1)| \leqslant 1，∣fn(1)∣⩽1|f_n(1)| \leqslant 1，求 b+3cb + 3c 的最小值和最大值； (3) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围.

2012 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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